Algebra II - Campi

Teoria dei campi

Definizione di campo

A è un campo sse (A, +) è un gruppo abeliano e (A \ {0}, •) è un gruppo abeliano. Inoltre, valgono le distributive di • su +.

Campo dei quozienti di un dominio

D dominio ⇒ ℚ(D) (1, ·, :) è un campo.

Definizione della relazione ~ su D

Definisco la relazione ~ su D✖D\{0} : ∀(a,b),(c,d) ∈ D✖D\{0}(a,b) ~ (c,d) ⇔ ad = bc.

Vale la riflessiva, infatti ∀(a,b) ∈ D✖D\{0} ab = b•a ⇒ (a,b) ~ (a,b) (identità di commutazione).

Vale la simmetrica, infatti ∀(a,b),(c,d) ∈ D✖D\{0} con (a,b) ~ (c,d) ad = bc ⇒ cb = ad ⇒ (c,d) ~ (a,b) (inversione).

Vale la transitiva, infatti ∀(a,b),(c,d),(e,f) ∈ D✖D\{0} con (a,b) ~ (c,d) ∧ (c,d) ~ (e,f) ad = bc ∧ cf = de. Moltiplico per cf ↔ moltiplico per bd ⇒ ad•cf = bcf ↔ bde => ad•f = b•e ⇒ (a,b) ~ (e,f).

⇒ ~ è una relazione di equivalenza.

Insieme delle classi di equivalenza

Considero l'insieme delle classi di equivalenza Q(D) = { [a,b] | a,b ∈ D, b ≠ 0 } = D✖D/{ (a,b) ~ (c,d) | a,b ∈ D, b ≠ 0 }.

[a,b] = [c,d] ↔ a/d = c/d ↔ (a,b) ~ (c,d) ⇒ ad = cb.

Definizione della somma in ℚ(D)

Definisco la somma + in ℚ(D): [a,b] + [c,d] = [ad + bc, bd].

È ben definita, infatti: a/b = a'/b', c/d = c'/d' ad' = a'b' ∧ cb' = c'b' (definizione di equivalenza) a/b + c/d = ad' + cb'/bd'.

Numeratore: (ad' + cb')/bd' = (a'b'd + c'b'a'/b'd' = ab'd + cba'/bd' = (a'b'd + c'b'a')/b'd' = ad' + cb' = [ad + cb, bd].

Numeratore: ab'd + ab'c'' = adcb/bd'avv║ denominatore proprio coso bb' => ad + cb = ad + cb - o.k. -

Teoria dei campi (versione corretta)

Definizione di campo

A è campo se: (A, +) gruppo abeliano, (A \ {0}, ·) gruppo abeliano e valgono le distributive di × su +.

Campo dei quozienti di un dominio

D dominio → (Q(D), +, ·) è campo.

Definizione della relazione ∼ su D

Definisco la relazione ∼ su D × D \ {0}. ∀(a, b), (c, d) ∈ D × D \ {0}(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.

• Vale la riflessiva, infatti: ∀(a, b) ∈ D × D \ {0}: ab = ba ⇒ (a, b) ∼ (a, b).
• Vale la simmetria, infatti: ∀(a, b), (c, d) ∈ D × D \ {0} con (a, b) ∼ (c, d) ⇒ ad = bc ⇒ cb = da ⇒ (c, d) ∼ (a, b) ✓.
• Vale la transitività, infatti: ∀(a, b), (c, d), (e, f) ∈ D × D \ {0}, con (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f) ⇒ ad = bc e cf = de ⇒ adf = bcf ∧ bcf = bde ⇒ adf = bde ⇒ ad = be ⇒ af = be ⇒ (a, b) ∼ (e, f) ✓.

⇒ ∼ è una relazione di equivalenza.

Insieme delle classi di equivalenza

Considero l’insieme delle classi di equivalenza Q(D) = {[a, b] | a, b ∈ D, b ≠ 0} = {a/b | a, b ∈ D, b ≠ 0}.

[a, b] = [c, d] ⇔ ad = bc.

Definizione della somma in Q(D)

Definisco la somma + in Q(D): Q(D) × Q(D) → Q(D)+, quindi: [a/b] + [c/d] = (ad + cb)/bd.

È ben definita: a/b = c/d ⇔ ob = ah e u/d = ch ⇒ obdd = abcd = abcbd ⇔ (a, b) ∼ (e, f).

⇒ ad + cb = (ad + bc) bd /= a/b = c/d ⇒ a = std/d ⇒ dd = cd ⇒ a/bdd = cb/abc = Bd = shady bc ⇒ u ⇒ ad + cb = a+d + bcbd = (ad + bc) bd = (ad + bc) bd/ ⇒ ad = cb per bd ⊗ t = 1 Ok ✓.

Proprietà della somma in Q(D)

Vale la proprietà associativa infatti, ∀ _{a c e} ∈ ℚ(ᴰ) _{b d f a} + ( _c + _e ) = _a + _c + _e = adf + cf + eb _b ( _{d f} ) _{b d f} bdf( _a + _c ) + _e = ad + cb _e = adf + cbf + eb _{b f bd f} ok.

Vale la proprietà commutativa infatti, ∀ _{a c} ∈ ℚ(ᴰ) _{b d} a _c = ad + cb _{b d} bd ok.

∃ u = ₀ = ₀ ∀ _b ∈ ℚ ₀ ∉ ℚ infiniti _1b ^1b _a = _ab = _a ∀ _a ∈ ℚ(ᴰ)_{b b2} b.

∃ l'opposto ∀ _a ∈ ℚ(ᴰ) ∃ − _a = − _a (infiniti)_{b b a} + _ab + (−_b) = ab + ab = ₀ = _{0b b2 b2} ¹₀ ok.