Algebra II - gruppi

Ripasso

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Comunemente si possono considerare "inclusioni", in quanto:

∃ f: N → Z _iniettiva ecc...

Ma dire che R ⊂ C è un abuso poiché i numeri complessi sono coppie, i reali sono numeri:

g: R → C

x → (x,0)

Quindi si perde anche l'ordine.

Def: norma dei numeri complessi

N_c: C → R⁺₀

(α + iβ) → α² + β² avendo il quadrato del modulo.

Oss. α² + β² = ( α - iβ )( α + iβ ) = &overline;z . z

Prop: norma uguale a zero

Prop: z ∈ C

z = α + iβ

N_c(z) = 0 ↔ α² + β² = 0 ↔ α = β = 0

Unico z complesso con norma 0 è 0.

Quindi:

∀ z ∈ C e z ≠ 0 ⇒ N_c(z) > 0

Prop: norma moltiplicativa

Prop: z, z′ ∈ C

N_c(z · z′) = N_c(z) · N_c(z′) La norma è moltiplicativa

Dunque:

N_c(z · z′) = z · z · &overline;z · &overline;z′ = z · z′ · &overline;z′ · &overline;z = (z · &overline;z) · (z′ · &overline;z′) = N_c(z) · N_c(z′)

Associativa e commutativa

Ok

Prop: norma non additiva

Prop: z, z′ ∈ C

N_c(z + z′) ≠ N_c(z) + N_c(z′) La norma non è additiva

Controsenso:

z, z′ ≠ 0

z = α + iβ z′ = -α - iβ

N_c(z + z′) = N_c(0) = 0

N_c(z) + N_c(z′) > 0 + 0 = 0

Ok

Ripasso

\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \)

Def: norma dei numeri complessi

\( N_c: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^+_0 \)

\( (\alpha+i\beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 \) avendo il quadrato del modulo

Oss. \( \overline{z} \cdot z = (\alpha-i\beta)(\alpha+i\beta) = \overline{z} \cdot z \)

Prop: norma uguale a zero

Prop: \( z \in \mathbb{C} \)

\( z = \alpha + i\beta \)

\( N_c(z)= 0 \Leftrightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta = 0 \)

Unico \( z \) complesso con norma 0 è 0.

Quindi

Se \( z \in \mathbb{C} \) e \( z \neq 0 \quad \Rightarrow \quad N_c (z) > 0 \)

Prop: norma moltiplicativa

Prop: \( z, z' \in \mathbb{C} \)

\( N_c (z \cdot z') = N_c (z) \cdot N_c (z') \) La norma è moltiplicativa

Quindi \( N_c (z \cdot z') = z \cdot z' \cdot \overline{z} \cdot \overline{z'} = \overline{z} \cdot z \cdot \overline{z'} \cdot z' = (\overline{z} \cdot z)(\overline{z'} \cdot z') = N_c(z) \cdot N_c(z') \)

Associativa e commutativa ok

Prop: norma non additiva

Prop: \( z, z' \in \mathbb{C} \)

\( N_c(z + z') \neq N_c(z) + N_c(z') \) La norma non è additiva

Controesempio

\( z, z' \neq 0 \quad z = \alpha + i\beta \quad z' = -\alpha - i\beta \)

\( N_c(z + z') = N_c(0) = 0 \)

\( N_c(z) + N_c(z') > 0 + 0 = 0 \)

Ok

Teoria dei gruppi

Def: operazione binaria interna

Def:

• * è un'operazione binaria interna su un insieme X
• = è un'applicazione dal prodotto cartesiano X×X → X

(X, *) è una struttura algebrica semplice

Def: semigruppo

Def:

Nella struttura algebrica (X, *) vale ⇔ associativa

⇒ df: (X, *) è semigruppo

Def: monoide

Def:

Il semigruppo (X, *) def: ∃e ∈ X : e*x=x*x=e=x∀x ∈ X

df: (X, *) è monoid

Non vuoto perché altrimenti è contraddizione l'esistenza

Prop: elemento neutro unico

Prop: il monoid è dotato di un unico e elemento neutro

Supponiamo e e' elementi neutri

e*e' = e (per def. di e')

e*x=e' (per def. di e)

⇒ e = e'

Ok

Def: gruppo

Def:

Nel monoid (X, *) ∀x ∈ X ∃x' ∈ X t.c. x*x' = x'*x = e

df: (X, *) è gruppo

Non vuoto altrimenti è contraddizione l'esistenza

Prop: inverso unico

Prop: ∀x ∈ X ∃! x' t.c. x*x' = x'*x = e con (X, *) gruppo

Dim: supponiamo x' e x'' inversi di x

x'*(x*x'') = x'*e = x'

(con ipotesi)

(x'*x)*x'' = e*x'' = x''

x' = x''

Ok

Def: gruppo abeliano

Def:

Nel gruppo (X, *) vale commutativa per *

df: (X, *) è gruppo abeliano

Prop: applicazione invertibile a sinistra

Prop

β : A → A

β è in ⇔ β è invertibile a Sx

∃ β^-1 : A → A t.c. β^-1 ∘ β = id_A

⇨∀ y ∈ A

β^-1{y} = ∑_x∈A | β(x) = y | = {φ}

Definsicoβ