Algebra II - anelli

Teoria degli Anelli

Definizione di anello

Def. (A,+,•) è Anello <=> (A,+) è gruppo abeliano (associativo, Ǝ elemento (0), V a Є A Ǝ (-a) (-0), commutativo) (A,•) è semigruppo associativo (∀a,b,c Є A: a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc).

Es.: = anello commutativo unitario ℤn anello commutativo unitario ∀n Є ℕ•_n anello (univoco se gli elementi della matrice appartengono ad un anello unitario).

Oss. A = ℤ⊕ℤ è anello commutativo unitario, col 1_A = 0_A, quindi, λ ≠ ℤ⊕ℤ ⇔ λ ≠ 0_A.

Lemma

A anello con A ≠ ℤ⊕ℤ, allora ∀x,y Є A e ∀m,m Є:

• 0x = x0 = 0
• (-x)y = x(-y) = -(xy)
• (mx)y = x(my) = m(xy)
• (mx)(my) = (mx)(my) = (mm)(xy)

Dimostrazione

• 0x + 0x = 0x (0 + 0)x = 0x + 0x → 0x = 0 (per assorbimento n._n.c.1)
• x0 + x0 = x0 = (x + 0) = x0 + x0 → x0 = 0 (per assorbimento n._n.c.1)
• (-x)y + xy = (-x + x)y = 0y = 0 (p.o.)   → (-x)y = -(xy)
• x(y) + x(y) = (x - y)y - x = 0 - 0 (p.o.)   → x(y) = x(y) => (xy) (disassorba)
• (mx) 'y = (x, +, x), 'y = mx (my) = n(xy)

Teoria degli Anelli

Definizione di anello

Def: (A, +, .) è anello se:

• (A, +) è "gruppo abeliano" (associativo, elemento (0), esistenza opposto, commutativo)
• (A, ., 0): è semigruppo associativo
• Distributiva (a+b)c = ac + bc

Se è commutativo => (A, ., 0) è detto anello commutativo.

È anello ridotto a 1 -> 1 = (A, +, .) è detto anello unitario.

Esempi

• Z è anello commutativo unitario
• 2/m è anello commutativo unitario A meno 0
• M_m (n è anello)

Dimostrazione

Dim: Anello con A 0 _A quindi:

• 0x = x0 = 0
• (-x)y = x(-y) = -(xy)
• (mx)y = x(my) = m(xy)
• (mx)(my) = (mx)(my) = (mmol)(xy)
• x(m,y) = x(y-,+y) - xy-+xy = m(xy) ok
• m volte osserviamo
• D) (m)(m)y) = (_-+___-) (m)y) = (_-m(y)) _- x (m)y = m(xy) = (... ... .. m(xy) = (mn)(xy)
• m(m)y) = (_-+___-) x(m)y) = x(m)y) + __ x(|yy|) = m(xy) + __ m(xy) = (m m)(xy)
• NN volte osserviamo
• ok

Definizione di 0-divisore

Def. A anello commutativo con Λ ≠∅ a ∈Λ s.i. a|c_⇒ ∃b ∈Λ con b≠0 t.c. a|b_⇔ a|b₌0_0-divisore.

Oss. O è un divisore a O mai-mano non c'è sense btenom un divisore b,0.

Esempio Λ=2_g a!=3. ∃3,≠0 t.c. 2≠3. 6 = 0_⇔ 3.2 è divisore a o.

Elementi invertibili

Oss. A anello commutativo unitario con Λ ≠∅ a ∈Λ solo e_{invertibile ⇔} ∃a_↔ t.c. a◊=o. a=1_{grersonal paradan}.

Esempio_{in 2} gli elementi invertibili sono. {±2,±3}_{in Q} q.x ≠∅ in 2_m ξ, a ∈ 2_m 1_← 0(a.m)= ξ;

Oss. 0 _{mai invertibile} (mnft) 0 · a = 0= o ≠ 1 ∀ c ∈Λ con A anello commutativo e Λ ≠∅.

Proposizione sugli invertibili e 0-divisori

Prop. A anello commutativo unitario con Λ ≠∅ a ∈Λ a è invertibile _⇔ a non è 0-divisore_eh ab = o = a. a· · b = a_· t. C. a ◊ = - b = 0 _⇔ b ◊=0 t.c. ao=0; ⇒ a non è O-divisore α;

Nota Λ= ... a non sono 0·divisor ∀ x ∈Z con x≠o^* o=( - x non = - x ≠ g:; λ a .x∈ 1- 23^* t.c. 0-divisore........_g.0-divisore.

Proposizione sulla cancellabilità

Prop. In un anello commutativo unitario con A ≠ ∅ a ∈ A, a ≠ 0 non o-divisore ⇔ a è cancellabile.

⇐ supponiamo che a è cancellabile a ≠ 0 ⇒ a°c = a°c ⇒ ab°b = 0 ⇒ a (b - c) = 0 ⇒ b - c = 0 ⇒ b = c ⇒ assurdo poiché a è cancellabile ⇒ o-divisore.

Debilita a non è o-divisore ⇒ o-divisibile a ≠ 0 e c a ≠ 0.

Dominio e campo

Def. z è dominio a dominio iniettivo.

Esempio Z è dominio Z non è dominio con esempio 2 è o-divisore non banale.

Def. A campo {A ≠ ∅} in anello commutativo unitario ∀ α ∈ A ⇔ poiché A è invertibile.

Prop. A campo ⇒ A è dominio.

Dim. A campo ⇒ ∀ α ≠ 0 α è invertibile ∀ α ∈ A con α 0 ≠ 0 α non è o-divisore.

Falso Z è dominio ma non è campo.

Prop. A dominio finito ⇒ A è campo.

Dim. {1, 2, 9} A è dominio finito ∀ α ≠ 0 α è invertibile ⇒ A è campo (Prop precedente) α ≠ 0 non o-divisore (Def).

Def.