Algebra lineare

Revisionato il 07/07/2026

di Carlo412

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Sistemi lineari e matrici. Notazioni e terminologia. Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli e rappresentazione dell'insieme delle soluzioni. Operazioni sulle matrici e …

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Grasselli Maurizio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

156 pagine

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Algebra lineare

Matrice

Definizione: Una matrice A di tipo (m, n) è una tabella con m righe e n colonne i cui elementi appartengono ad un campo K (ℝ, ℚ, ℂ). L'elemento della riga i e colonna j di A è indicato come a_ij. L'insieme di tutte le matrici di questo tipo è denotato come Mat(m, n; K).

Esempio:

A =	1	a_i	2	i
	M=1, ..., m	2	a₂₁	...a_m	n

A = [a_i], i ∈ Mat(2, 3; ℂ)

[ 3 2 ]

Esempi noti

Matrice nulla: a_ij = 0 per ogni (i, j) ∈ M × N

[0 0 0]

matrice nulla in Mat(2,3; K)

[0 0]

= O₂ matrice nulla in Mat(2,2; K)

Matrice identità

a_ij = { 1 se i=j, 0 se i≠j} per ogni (i,j) ∈ K × N

I_2,3 =

1	0
0	1

matrice identità in Mat(Z_2,3; K)

I_2,2 =

1	0
0	1

matrice identità in Mat(Z_j; K)

Notazioni

A = [a₁₁ ... a_1m, a_m1 ... a_m,n] = [a_ij] = [ A_R(1) ... A_R(m) ] [ A_C(1) ... A_C(m) ]

A_R(i) = [ a_i1, ... a_im ] ∈ Mat(λ,μ; K) riga i-esima di A

A_C(j) = [ a_1j, a_mj ] ∈ Mat(mν,j; K) colonna j-esima di A

a_ij = (A)_ij = elemento o entrata di posto (i,j)

A =

1	2
3	4

∈ Mat(Z₂; ℚ)

a₁₁ = (A)₁₁ = 1

Somma e prodotto per uno scalare

(Def. 3.5) In Mat(m, n; K) si definiscono due operazioni:

La somma elemento per elemento

+: Mat_{m, n}(K) + Mat_{m, n}(K) → Mat_{m, n}(K)

Esempio:

A =

1	-1
-1	1

A + A =

1	-1
-1	1

1	-1
-1	1

1+1	-1-1
-1-1	1+1

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