Accelerazione media e caduta libera

_Steven
di _Steven
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Scopri la differenza tra accelerazione media e accelerazione istantanea in questo appunto educativo. Analizziamo un problema pratico sulla caduta libera di una palla da tennis, calcolando l'accelerazione media durante il contatto con il suolo.

Concetti Chiave

  • L'accelerazione media si calcola con la formula a_m = Δv / Δt, senza necessità di conoscere il moto in ogni istante.
  • L'accelerazione istantanea richiede il calcolo del limite tra differenze infinitesime di velocità e tempo.
  • Un esercizio pratico illustra il calcolo dell'accelerazione media di una palla da tennis che rimbalza.
  • La velocità della palla al suolo è calcolata a 8,8 m/s, mentre quella dopo l'urto è di 6,4 m/s.
  • L'accelerazione media durante il contatto con il suolo è di 1260 m/s², considerando le velocità e il tempo di contatto.

In questo appunto evidenzieremo innanzitutto la differenza tra accelerazione media e accelerazione istantanea.
Esse si differenziano perché l'accelerazione media non richiede di conoscere il moto dettagliatamente per ogni singolo istante, ma è ben calcolabile semplicemente dalla formula:

[math] a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} [/math]
Invece, l'accelerazione istantanea non è molto diversa, ma si calcola passando al limite, ovvero considerando il rapporto tra una differenza infinitesima tra due velocità e una differenza infinitesima di istanti di tempo.
Senza scendere troppo nel dettaglio, perché richiederebbe degli strumenti di analisi matematica, vediamo ora il testo dell'esercizio che richiederà di calcolare un'accelerazione media.

Testo dell'esercizio

Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da un'altezza di 4 metri dal pavimento. Rimbalza fino all'altezza di 2 metri. Se è stata in contatto col suolo per 12 microsecondi, quale è stata la sua accelerazione media durante il contatto?

Soluzione dell'esercizio

Iniziamo a calcolare la velocità  con la quale la palla giunge a terra.
La velocità  che la palla acquista dopo
[math]4 m[/math]
può essere calcolata con la nota legge
[math]v_1^2-v_0^2=2ah_1[/math]
Nel nostro caso
[math]h=4 m[/math]
e
[math]a=g=10m/s^2[/math]
e inoltre la velocità  iniziale è nulla, quindi
[math]v_0^2=0[/math]
, quindi
[math]v_1=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 4}m/s=8.8m/s[/math]
Dai dati del problema possiamo anche calcolare facilmente la velocità  con cui la palla riparte dopo l'urto. Procedendo come prima, ho
[math]0-v_2^2=-2ah_2[/math]
da cui segue:
[math]v_2=\sqrt{2gh_2}=\sqrt(2 \cdot 10 \cdot 2)=6.4 m/s[/math]
Ora conosciamo dunque le velocità nel momento immediatamente precedente all'urto e in quello subito dopo.
Sappiamo che l'accelerazione media è una variazione di velocità diviso l'intervallo di tempo. Dobbiamo stabilire questa variazione: inizialmente il vettore velocità  era rivolto verso il basso e aveva modulo
[math]v_1=8,86 m/s[/math]
.
Poi, subito dopo l'urto col terreno, è diretto verso l'alto e ha modulo
[math]6,4 m/s[/math]
.
Se si prende come positiva la direzione del vettore
[math]\vec{v_1}[/math]
allora si ha che
[math]v_1=8,8 m/s[/math]
e
[math]v_2=-6,4 m/s[/math]
si (noti il "meno", perché le due velocità  hanno versi opposti).
Quindi
[math]a=\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(8,8-(-6,4))}{(0,012)s}=1260m/s^2[/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è la differenza principale tra accelerazione media e accelerazione istantanea?

    2. L'accelerazione media si calcola con la formula \( a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} \) e non richiede dettagli sul moto in ogni istante, mentre l'accelerazione istantanea si ottiene considerando differenze infinitesimali di velocità e tempo.

  2. Come si calcola la velocità della palla da tennis prima e dopo l'urto con il suolo?

    3. La velocità prima dell'urto si calcola con \( v_1 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 4} = 8,8 m/s \) e dopo l'urto con \( v_2 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2} = 6,4 m/s \).

  3. Qual è l'accelerazione media della palla durante il contatto con il suolo?

    4. L'accelerazione media è calcolata come \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(8,8 - (-6,4))}{0,012} = 1260 m/s^2 \).

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