6 esercizi svolti sulle serie per l'esame di Analisi matematica

Pubblicato il 23-05-09

http://www.matematicaescuola.it/Analisi/Università/Serie_Esercizi_n6.pdf

Studio di serie numeriche

1.

Studiare la serie

∑_n=1^+∞ 1/2ⁿ

La serie è a termini positivi, dunque è regolare. Studiamo il limite del termine generale per stabilire se è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza.

a_n = (n + 1)/2ⁿ = lim_n→+∞ (n + 1)/2ⁿ = 0, perché l’infinito al numeratore ha ordine uno, mentre quello al denominatore è superiore a qualsiasi ordine prestabilito.

La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, pertanto la serie può convergere.

Per lo studio della convergenza applichiamo il criterio della radice. Si ha:

lim_n→+∞ ⁿ√(n + 1)/2ⁿ = lim_n→+∞ ⁿ√(n + 1)/2 = lim_n→+∞ e^{log(n + 1) / n}/2.

Ricordiamo ora che per ogni numero reale positivo x sussiste l’uguaglianza x = e^{log x}, per cui possiamo scrivere:

lim_n→+∞ e^{log(n + 1) / n}/2 = 1/2 · lim_n→+∞ e^{log(n + 1) / n} = 1/2 · 1 = 1/2.

Avendo ottenuto per il limite un numero positivo minore di uno concludiamo che in esame la serie converge.

2.

∑_n=1^+∞ (n + 1)³/2ⁿ

La serie è ancora a termini positivi, quindi è regolare. Si riconosce agevolmente che il limite del termine generale è ancora zero (il cui compito si lascia al lettore),

a_n = (n + 1)³/2ⁿ = lim_n→+∞ (n + 1)³/2ⁿ = 0,

quindi è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza.

Applicando ancora il criterio della radice si ottiene come limite ancora

lim_n→+∞ ⁿ√(n + 1)³/2ⁿ = lim_n→+∞ (n + 1)^3/n/2 = 1/2, per cui la serie converge.

Osservazione

Per lo studio del limite si tenga presente che

lim_x→+∞ (1 + x)³/e^x = lim_x→+∞ e^{3 log(1 + x) - x} = 0

e che applicando la regola di De l’Hôpital si ha

lim_x→+∞ log(1 + x)/x = lim_x→+∞ 1/(1 + x) = 0.

Luigi Lecci: 1

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