Esercizi di Analisi Matematica (ebook)

Esercizi di analisi matematica

Luca Lussardi

Esercizi svolti di analisi matematica per

le facoltà ad indirizzo scientifico

Matematicamente.it

Luca Lussardi

Esercizi di Analisi Matematica

–

© Matematicamente.it 2012

–

www.matematicamente.it libri@matematicamente.it

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Universal Book via Botticelli, 22 87036 Rende (CS)

ISBN 978 88 96354 19 3

Indice

Introduzione 3

1 L’insieme R 5

1.1 Nozioni di base sugli insiemi . . . . . . . . . . . 5

1.2 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Topologia di . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

R

2 Funzioni 21

2.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Limiti e continuità 57

3.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1

2 INDICE

4 Derivate 79

4.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.2 Teoremi del calcolo differenziale . . . . . 82

4.1.3 Estremi di funzioni . . . . . . . . . . . . 83

4.1.4 Teoremi di De l’Hopital . . . . . . . . . 86

4.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Integrali 127

5.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1.1 Integrazione secondo Riemann . . . . . 127

5.1.2 Teorema fondamentale del calcolo inte-

grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1.3 Regole di calcolo . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.4 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6 Serie numeriche 145

6.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.1.1 Successioni reali . . . . . . . . . . . . . 145

6.1.2 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . 146

6.1.3 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . 148

6.1.4 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . 148

6.1.5 Serie a termini di segno qualunque . . . 151

6.1.6 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Indice analitico 179

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Introduzione

La presente raccolta di esercizi di calcolo infinitesimale per

funzioni di una variabile reale è frutto di tanti anni di esercitazioni di corsi di Analisi Matematica da me tenuti presso la

Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Pavia e del

Politecnico di Milano: si tratta quindi di esercizi che possono

tornare utili soprattutto agli studenti di Ingegneria che stanno

preparando il primo esame di Analisi Matematica del loro ciclo

di studi. La presente opera non ha alcuna pretesa di completezza, in quanto sono stati trattati solo alcuni degli argomenti

classicamente presenti in un tradizionale corso di calcolo del

primo anno. In particolare, in ogni capitolo vi sono dei brevi

richiami di teoria, privi di ogni dimostrazione: tali richiami

di teoria fornire un’alternativa

non devono in nessun caso

allo studio completo della teoria; essi hanno semplicemente lo

scopo di dare un riferimento teorico rapido per una lettura più

scorrevole degli esercizi. Il testo è accompagnato dalle tracce

audio di spiegazione di ciascun esercizio, a volte più dettagliata

di quanto si trova scritto lungo il testo.

3

4 INDICE

Il file con 101 commenti audio di tutti gli esercizi proposti

è scaricabile alla seguente URL:

www.matematicamente.it/lussardi/esercizidianalisi.zip

Ci auguriamo che questo supporto maggiore che il testo offre

possa aiutare ancora di più lo studente.

Infine, i doverosi ringraziamenti. Un ringraziamento particolare va al prof. Marco Luigi Bernardi, che mi ha fornito, durante gli anni passati a Pavia, gran parte del materiale che si trova in queste note. Ringrazio inoltre l’editore Antonio Bernardo per l’interesse da sempre dimostrato verso la pubblicazione di questo eserciziario, con la speranza che possa essere utile a tanti studenti.

Brescia, Dicembre 2011 Luca Lussardi

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Capitolo 1

L’insieme R

1.1 Nozioni di base sugli insiemi

Per insieme si intende una collezione, un raggruppamento di elementi, considerati nella loro totalità. Se un elemento x appartiene all’insieme X si scrive anche

∈

x X.

Se invece x non appartiene ad X, la notazione usata è

∈

x / X.

Spesso risulta comodo denotare un insieme elencando i suoi elementi (specie per gli insiemi finiti), ad esempio X = {a, b, c} è l’insieme che ha come elementi le lettere a, b e c. Nel seguito verrà utilizzato il simbolo

∅

per indicare l’insieme vuoto,

ovvero l’insieme che non ha elementi.

5

6 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

Dato un insieme X si dice che Y è un sottoinsieme di X se risulta vera l’implicazione

∈ ∈

x Y ⇒ x X.

In tal caso si scrive ⊆

Y X.

La nozione di sottoinsieme permette di enunciare una condizione necessaria e sufficiente per l’uguaglianza tra due insiemi, detta principio di estensionalità:

⇔ ⊆ ⊆

X = Y X Y e Y X.

Dati due insiemi X e Y sia

∪ {x ∈ ∈ }.

X Y := : x X oppure x Y

∪ Y

Si dice che X è l’unione tra X ed Y. Un’altra operazione di notevole interesse è l’intersezione tra insiemi: dati due insiemi X ed Y sia

∩ {x ∈ ∈ }.

X Y := : x X e x Y

∩

Si dice che X Y è l’intersezione tra X ed Y. È possibile considerare anche la differenza tra due insiemi: dati due insiemi

⊆

X e Y con X Y, sia

\ {x ∈ ∈

Y X := Y : x / X}.

\

Si dice che Y X è la differenza tra X e Y. Talvolta l’insieme

\

Y X si dice anche complementare di X in Y, e viene anche

complementare

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7

CAPITOLO 1. L’INSIEME R

c

denotato semplicemente con X, quando non vi sia ambiguità su quale sia l’insieme Y. {a, }

Esempio: Si considerino i due insiemi X = b, c, d, e, f

{c,

e Y = d, g, h}. Allora si ha che

∪ {a,

X Y = b, c, d, e, f, g, h}

e ∩ {c,

X Y = d}

mentre non è consentito operare una differenza dal momento

⊆ ⊆

che non risulta X Y né Y X.

Esempio: Si dimostri che per ogni terna di insiemi X, Y, Z

∪ ∩ ∪ ∩ ∪

si ha X (Y Z) = (X Y ) (X Z). Volendo applicare il principio di estensionalità si comincia con il provare che

∪ ∩ ⊆ ∪ ∩ ∪

X (Y Z) (X Y ) (X Z).

∈ ∪ ∩ ∈ ∈ ∩

Sia x X (Y Z); allora x X oppure x Y Z, ovvero

∈ ∈ ∈ ∪ ∈ ∪

x Y e x Z. In ogni caso x X Y e x X Z, e

∈ ∪ ∩ ∪

quindi x (X Y ) (X Z). Viceversa, per concludere, basta provare che

∪ ∩ ∪ ⊆ ∪ ∩

(X Y ) (X Z) X (Y Z).

∈ ∪ ∩ ∪ ∈ ∪ ∈ ∪

Sia x (X Y ) (X Z); allora x X Y e x X Z. In

∈ ∈ ∈ ∩

ogni caso x X; se x / X, allora deve essere x Y Z, per

∈ ∪ ∩

cui x X (Y Z) che è la conclusione.

Un insieme molto importante dal punto di vista teorico è l’insieme delle parti di un insieme dato. Dato un insieme X, si

delle parti

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8 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

denota con P (X) l’insieme detto delle parti di X ed è l’insieme che ha come elementi i sottoinsiemi di X, ovvero si ha

∈ ⇔ ⊆

Y P (X) Y X.

{a,

Esempio: Dato l’insieme X = b, c}, si scrivano gli elementi dell’insieme P (X). L’insieme vuoto è sottoinsieme di

∅;

ogni insieme, per cui un primo elemento di P (X) è tutt-

i i sottoinsiemi di X che hanno solo un elemento sono dati

{a}, {b}, {c}.

da: Vi sono poi i sottoinsiemi che contengono due elementi, e si ha b}, c} e c}. Infine l’unico

{a, {a, {b,

sottoinsieme di X che ha tre elementi è X stesso. Si ha quindi

{∅, {a}, {b}, {c}, {a, {a, {b, {a,

P (X) = b}, c}, c}, b, c}}.

Un’altra operazione tra insiemi molto importante è il prodotto di insiemi. Dati due insiemi X ed Y il loro prodotto

cartesiano ×

cartesiano X Y viene definito come l’insieme delle coppie

ordinate (x, y) con x X e y Y. In simboli si ha

∈ ∈

× {(x, ∈ ∈ }.

X Y := y) : x X e y Y

×

Si osservi che un elemento di X Y è una coppia ordinata, e non semplicemente un insieme costituito da due elementi; ovvero la coppia (x, y) non coincide con la coppia (y, x), tranne nel caso in cui si abbia x = y. {a, {b,

Esempio: Siano dati gli insiemi X = b, c} e Y = c}.

Allora si ha

× {(a,

X Y = b), (b, b), (c, b), (a, c), (b, c), (c, c)}.

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CAPITOLO 1. L’INSIEME R

1.2 Numeri naturali

L’insieme dei numeri naturali N, ovvero dei numeri 0, 1, 2, 3,

. . . ., può essere introdotto dai cinque assiomi di Peano:

∈

A1) 0 N.

A2) Per ogni numero naturale n esiste un unico numero naturale s(n) detto successivo di n.

successivo

∈ 6

A3) Per ogni n si ha s(n) = 0.

N

∈

A4) Se n, m con s(n) = s(m), allora si ha n = m.

N ⊆ ∈ ∈

A5) Supponiamo che A e che si abbia 0 A e n A ⇒

N

∈

s(n) A; allora risulta A = N.

Il teorema più importante della teoria di base dell’insieme dei numeri naturali è anche noto con il nome di principio di induzione, che è una conseguenza immediata dell’assioma A5. Il principio di induzione fornisce uno strumento molto utile che permette di dimostrare che una certa proprietà P (n) che dipende dai numeri naturali è vera. L’idea su cui si basa il principio è la seguente: dimostrare che è vera P (0) e che per ogni n N è vera l’implicazione P (n) ⇒ P (s(n)).

∈

In tal modo si ha la seguente catena: P (0) vera, allora P (1) vera, allora P (2) vera, allora P (3) vera, ecc. . . e, continuando all’infinito, si ha la verità di P per ogni numero naturale.

Attraverso la nozione di successivo è possibile introdurre le

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10 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

prime operazioni definite sull’insieme che sono somma e

N,

ben definite per ricorsione nel seguente modo:

prodotto, n + 0 := n, n + s(m) := s(n + m)

e · · ·

n 1 := n, n (m + 1) := n m + n,

dove 1 := s(0). Le operazioni tra numeri naturali godono di varie proprietà: · ·

n + m = m + n, n m = m n,

· · · ·

n + (m + p) = (n + m) + p, n (m p) = (n m) p,

· · ·

n (m + p) = n m + n p,

∈

per ogni m, n, p N.

Esempio: Dimostriamo per induzione la proprietà commutativa della somma. È da dimostrare che per ogni n, m naturali si ha n + m = m + n. La dimostrazione procederà per induzione su m. Per prima cosa va dimostrato quindi che per ogni n naturale si ha n+0 = 0+n. A sua volta questa proprietà va dimostrata per induzione su n; per n = 0 si ha 0+0 = 0+0 che è vera, inoltre per definizione di somma si ha anche 1+0 = 0+1, quindi supponendo n + 0 = 0 + n si ha

(n + 1) + 0 = n + (1 + 0) = n + (0 + 1) = (n + 0) + 1

= (0 + n) + 1 = 0 + (n + 1).

che conclude la verifica. Con ciò è stato dimostrato che per ogni n naturale vale n + 0 = 0 + n, che è la proprietà commutativa per m = 0. Come ultimo passo va quindi supposto ora

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11

CAPITOLO 1. L’INSIEME R

che n + m = m + n per ogni n, m naturali, e va dimostrato che n + (m + 1) = (m + 1) + n.

Si ha

n + (m + 1) = (n + m) + 1 = (m + n) + 1 = m(n + 1)

= m + (1 + n) = (m + 1) + n

che conclude l’intera dimostrazione.

Esempio: Dimostriamo per induzione su N che

N N (N + 1)

X .

n = 2

n=0

Procedendo come al solito si ha

0 0(0 + 1)

X n =0= 2

n=0

per cui la formula data è vera per N = 0. Supponendo che

N N (N + 1)

X n = 2

n=0

si ha N

N +1 N (N + 1)

X

X n + (N + 1) =

n = + (N + 1)

2

n=0

n=0 (N + 1)(N + 2)

= 2

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12 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

che conclude la dimostrazione.

Accanto alle operazioni principali definite su vi è un’altra

N

importante proprietà strutturale dell’insieme dei numeri naturali: l’ordinamento totale. I numeri naturali sono cioè ordinati

totale.

tra loro, si ha, per definizione di ordine totale,

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < ...

In altre parole per ogni n naturale si ha n < s(n); si scrive

≤

n m

per dire che può essere n < m o n = m. Tale ordinamento è compatibile con le operazioni di somma e prodotto, nel senso che si ha

≤ ≤ ≤ · ≤ ·

n m ⇒ n + p m + p, n m ⇒ n p m p

∈

per ogni m, n, p N.

1.3 Numeri interi

L’operazione di somma è ben definita nell’insieme si ha

N;

≤ ∈

che, per esempio, se n m allora esiste uno ed un solo p N

−

tale per cui n + p = m; tale p si denota anche con p = m

n. Tuttavia ciò non è più vero se n > m. I numeri interi

tornano utili per porre rimedio a tale inconvenienza; l’insieme dei numeri interi, denotato con è definito come l’insieme

Z, N

unito all’insieme dei cosiddetti numeri negativi, ovvero l’insieme

{−1, −2, −3, }:

dato da . . . si ha quindi

∪ {−1, −2, −3, }.

= . . .

Z N

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CAPITOLO 1. L’INSIEME R

Nell’insieme è anzitutto ben definita l’operazione di somma,

Z

estensione della somma tra numeri naturali.

−1 −5 −3.

Esempio: Risulta + 4 = 3, oppure ancora + 2 =

Ben definito è anche il prodotto tra due numeri interi, seguendo la cosiddetta regola dei segni che fornisce il segno del prodotto tra due numeri interi, una volta noto il segno dei due fattori. Più precisamente la regola dei segni si può riassumere, formalmente, come segue:

· ·− − − ·+ − − ·−

+ +=+ + = = = +.

· −18, −2 ·

Esempio: Risulta 3 (−6) = od ancora (−1) = 2

(i numeri senza segno sono da considerarsi, per convenzione, positivi).

In base a quanto detto, in esiste un’ulteriore operazione

Z −

ben definita, che è la in l’operazione z p ha

differenza: Z −

infatti sempre un risultato, e precisamente z p = q se e solo se z = p + q. Si ha che su le operazioni definite rispettano

Z

ancora le proprietà dell’aritmetica di N.

1.4 Numeri razionali

Un’altra operazione che crea problemi è l’inversione del prodotto: se p, q non è detto che esista un numero intero r

Z ·

tale per cui si abbia p = q r. Per dare una soluzione a questo problema si introducono i numeri razionali, ovvero i numeri

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14 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

della forma p/q (le cosiddette frazioni), dove p e q sono due numeri interi, con q = 0. In realtà va fatta attenzione al fatto che diverse coppie di numeri interi possono corrispondere allo stesso numero razionale (due frazioni possono essere equivalenti): allo scopo si pone

p p

1 2 ⇔

= p q = p q .

1 2 2 1

q q

1 2

L’insieme dei numeri razionali è quindi definito come l’insieme delle coppie di numeri interi (p, q), con q = 0, a patto di identificare tra loro certe coppie di numeri interi, e precisamente quelle coppie che verificano l’identità precedente. In Q vengono estese le operazioni di somma e prodotto ponendo:

p

p p q + p q p p p

p 2

2 1 2 2 1 1 1 2

1 + = , = .

q q q q q q q q

1 2 1 2 1 2 1 2

·

(spesso viene omesso il simbolo di per denotare il prodotto). È chiaro, per costruzione, che il problema dell’estensione dell’operazione di divisione viene completamente risolto in Q.

1.5 Numeri reali

L’estensione che completa il quadro è quella che conduce all’insieme dei numeri reali: l’insieme dei numeri razionali infatti non è ancora sufficiente a descrivere certe proprietà necessarie per il seguito. L’idea che conduce alla definizione dell’insieme è ancora una volta quella di estendere certe operazioni che

R

non hanno un risultato in ad esempio non esiste un numero

Q,

·

razionale q tale che q q = 2. In questo caso, però, seguiamo l’impostazione assiomatica dell’insieme dei numeri reali, elencando le regole di calcolo che valgono nell’insieme (e quindi,

R

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15

CAPITOLO 1. L’INSIEME R ∈

a maggior ragione, anche in e per ogni x, y, z

N, Z Q): R

valgono le seguenti proprietà:

1) x + y = y + x.

2) (x + y) + z = x + (y + z).

3) x(y + z) = xy + xz.