6 esercizi sulla rappresentazione di numeri complessi

INSIEMI DI NUMERI COMPLESSI E

LORO RAPPRESENTAZIONE SUL PIANO COMPLESSO

Francesco Camia

1. Rappresentare sul piano complesso gli insiemi:

|2

= ∈ : − 3| ≤ 2 = ∈ : = − + 1 + 2, ∈

, .

− 3 + 4

2

Scrivendo z=x+iy, la condizione che individua gli elementi di A diventa ≤ 2, da cui si ha

4 − 12 + 5 ≤ 0, + − 3 + ≤ 0,

+4 da cui , dividendo entrambi i membri per 4, si ha che

! ; 0#

individua il cerchio di centro e raggio 1 rappresentato nella figura che segue:

Più rapidamente si poteva ottenere lo stesso risultato scrivendo la condizione che individua gli elementi di A

! #$ ≤ 2,

−

$2 da cui, ricordando che il modulo del prodotto di due o più numeri complessi è

nella forma !

|2| |2|=2,

− ≤ 2,

$ $

uguale al prodotto dei rispettivi moduli, si ha da cui, dividendo entrambi i membri per

!

− ≤ 1,

$ $

si ha che individua subito il cerchio sopra rappresentato.

Gli elementi dell’insieme B si ottengono calcolando gli opposti degli elementi di A e addizionando a tali

opposti il numero 1+2i, il che equivale a sottoporre l’insieme sopra rappresentato prima ad una simmetria

% ;

rispetto l’origine e poi ad una traslazione secondo il vettore (1;2); si ottiene il cerchio di centro ( - 2) e

raggio 1, rappresentato nella figura che segue:

2. |

= ∈ : − 2| ≤ 3, + ̅ + 2 = 0

Rappresentare sul piano complesso l’insieme: .

|−2

− + | ≤ 3, − + ≤ 3

−2

Scrivendo z=x+iy, la prima condizione diventa da cui , da cui

+ + 4 − 5 ≤ 0

, che individua il cerchio di centro (0; - 2) e raggio 3. Si poteva giungere allo stesso

− #$

$

risultato scrivendo la condizione che individua gli elementi di A nella forma ≤ 3,da cui, scrivendo

'

'

= = −2 e ricordando che il modulo del prodotto di due o più numeri complessi è uguale al prodotto dei

(

' ' || | −2| ||=1,

− ≤ 3

rispettivi moduli, si ha , da cui dividendo entrambi i membri per si ottiene

| −2|

− ≤ 3 che individua il cerchio suddetto.

La seconda condizione, sempre scrivendo z nella forma algebrica x+iy, diventa x+iy+x-iy+2=0, da cui si

ha y = - 1. L’insieme A è pertanto rappresentato dalla corda del suddetto cerchio sotto disegnata:

3. Rappresentare sul piano complesso gli insiemi: %

! !

|

|

= ∈ : ≥ 8, 0 ≤ +, ≤ - = ∈ : = , ∈ 0

.

, .

/

! ! !

| | || ||

= = &i