Richiami di algebra. Fattorizzazione dei polinomi. Applicazione alle disequazioni

Fattorizzazione dei polinomi

Ricamente, la scomposizione di un numero naturale in fattori primi.

n = p₁^m1 p₂^m2 ... p_k^mk

p₁, p₂, p_k sono numeri primi distinti scritti in maniera crescente.

m₁, m₂, m_k sono numeri interi che rappresentano le molteplicità dei fattori cioè quante volte quel termine compare nel prodotto.

Un numero può essere scomposto in uno ed un solo modo come prodotto di fattori primi.

Esempio: 18 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2² x 3² x 5

Nei polinomi, equivalente del ruolo giocato dai numeri primi nell'insieme dei numeri, è dato da polinomi "irriducibili", ovvero non divisibili in polinomi.

Raccoglimento a fattor comune

x⁴-3x³+5x² = x²(x²-3x+5)

Δ < 0 quindi irriducibile

Raccoglimento parziale

x⁴+x²+b²x²+b²b²= x²(x²+a²)+b²(x²+a²)=

(x²+a²)(x²+b²)

Δ < 0 Δ < 0

Fattorizzazione dei Polinomi

Richiamiamo la scomposizione di un numero naturale in fattori primi.

m = p₁^m1 p₂^m2... p_k^mk

p₁, p₂, p_k sono numeri primi distinti scritti in maniera crescente.

m₁, m₂, m_k sono numeri interi che rappresentano la molteplicità dei fattori, cioè quante volte quel termine compare nel prodotto.

Un numero può essere scomposto in uno ed un solo modo come prodotto di fattori primi.

Es. 18 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 2² 3² 5

Nei polinomi, l'equivalente del ruolo giocato dai numeri primi nell'insieme dei numeri, è dato dai polinomi "irriducibili" ovvero non divisibili in polinomi.

Raccolgimento a Fattor Comune

X³ - 3X² + 5X² = X²(X² - 3X + 5)

quindi irriducible

Raccolgimento Parziale

X⁴ + 2X² + 5X² = X²(X² + 2) + 5²(X⁴ + 6²) =

(X² + 4²)quindi irriducible proprio

Prodotti Notevoli

x² - e² = (x-e)(x+e)x³ - e³ = (x-e)(x² + ex + e²)x⁴ - e⁴ = (x² - e²)(x² + e²) = (x-e)(x+e)(x² + e²)x⁵ - e⁵ = (x-e)(x⁴ + ex³ + e²x² + e³x + e⁴)

In generale:

xⁿ - eⁿ = (x-e)(x^n-1 + ex^n-2 + e²x^n-3 + ... + e^n-1)

Se "n" pari il binomio xⁿ - eⁿ e' divisibile per x-e e per x+e, se "n" e' dispari il binomio xⁿ - eⁿ e' divisibile per x-e (ma non per x+e)

x² + e² (Δ < 0) e' irriducibilex³ + e³ = (x+e)(x² - ex + e²)x⁴ + e⁴ e' irriducibilex⁵ + e⁵ = (x+e)(x⁴ - ex³ + e²x² - e³x + e⁴)

Se "n" e' pari il binomio xⁿ + eⁿ non e' divisibile ne' per x-e ne' per x+e, se "n" e' dispari il binomio xⁿ + eⁿ e' divisibile per x+e (ma non per x-e)

Note

Se n è dispari, in generale avremo:

ⁿ + eⁿ = (¹ + e)(^n-1 - ^n-2 e + ... - e^n-2 + e^n-1)

Nelle espressioni ⁿ - eⁿ, ⁿ + eⁿ abbiamo evidenziato dei fattori del tipo ¹ - e, ¹ + e.

Nel caso fattori di questo tipo non si evidenziano, non significa che i polinomi non siano decomponibili, ma significa semplicemente che non hanno questi termini di - ⁱ prob -

Ad es.

⁶ + b⁶

In questo caso non è divisibile né per x - b, né per x + b, perché inserendo ±b al posto di x non ottengo "0".

In questo caso, per scomporre, posso fare così:

⁶ + b⁶ = (²)³ + [b²]³

= (² + b²)(⁴ - 3²b² x (quadrato perfetto)

= (² + b²)[²]² - 33²