Matematica C3 Algebra 2 - 4a edizione (ebook)

3

MATEMATICA C

ALGEBRA 2

Testo per il secondo anno

della Scuola Secondaria di grado

II

Matematicamente.it

a

4 Edizione - 2015

3

Matematica C – Algebra 2

Copyright © 2015 Matematicamente.it

Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini della

licenza Creative Commons 3.0 Italia (CC BY 3.0) il cui testo integrale è disponibile

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vo pubblicato su http://www.copyleft-italia.it.

C P Antonio Bernardo, Anna Cristina Mocchetti, Claudio Carboncini.

OORDINATORI DEL ROGETTO

A Claudio Carboncini, Antonio Bernardo, Erasmo Modica, Anna Cristina Mocchetti, Germa-

UTORI

no Pettarin, Francesco Daddi, Angela D’Amato, Alessandra Marrata, Nicola Chiriano, Daniele Masini.

H C Gemma Fiorito, Daniela Hérin, Alessandro Albertini, Luciano Serra, Pier-

ANNO OLLABORATO

luigi Cunti, Grazia Petrone, Raffaele Santoro, Lisa Maccari, Gavino Napoletano, Sara Gobbato, Mau-

ro Paladini, Livia Noris, Eugenio Medaglia, Francesca Lorenzoni, Roberto Capancioni, Nicola De Rosa,

Riccardo Sala, Lucia Rapella.

P L TEX Dimitrios Vrettos.

A

ROGETTAZIONE IN

I L TEX Claudio Carboncini, Daniele Masini, Dimitrios Vrettos.

A

MPLEMENTAZIONE IN

C , Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiorna-

OLLABORAZIONE COMMENTI E SUGGERIMENTI

3

mento del manuale Matematica C - Algebra 1 o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi

a antoniobernardo@matematicamente.it.

Versione del documento: del 10 settembre 2015.

4.0

Stampa quarta edizione: settembre 2015.

ISBN 9788896354810

D ’

ATI TECNICI PER L ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA

3

Titolo: Matematica C , Algebra 2 - quarta edizione.

Codice ISBN: 9788896354810

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2015.

e

Prezzo: 0,00.

Formato: ebook ( ).

PDF Indice

Prefazione v

I Numeri reali e radicali 1

1 Numeri reali 3

1.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Confronto fra numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Proprietà del valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Radicali 15

2.1 Radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Radici quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Radici cubiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Radici n-esime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Condizioni di esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Potenze ad esponente razionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Semplificazione di radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Moltiplicazione e divisione di radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.1 Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso radicando . . . . . . . 21

2.5.2 Moltiplicazione e divisione di radici con lo stesso indice . . . . . . . . . 22

2.5.3 Moltiplicazione e divisione di radici con indici diversi . . . . . . . . . . 22

2.6 Portare un fattore sotto il segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Portare un fattore fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Potenza di radice e radice di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9 Somma di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.10 Razionalizzazione del denominatore di una frazione . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.11 Radicali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali . . . . . . . . . . . . . 33

2.12.1 Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.12.2 Disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.12.3 Sistemi di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.13.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

iv Indice

2.13.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II Algebra di secondo grado 61

3 Equazioni di secondo grado 63

3.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 Risoluzione di un’equazione di secondo grado incompleta pura . . . . . 63

3.1.2 Risoluzione di un’equazione incompleta spuria . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Risoluzione di un’equazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2.2 Equazioni che si possono risolvere con opportune sostituzioni . . . . . . 68

3.3 Discussione e risoluzione di equazioni numeriche frazionarie . . . . . . . . . . 69

3.4 Discussione e risoluzione di equazioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5 Relazioni tra soluzioni e coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto . . . . . 75

3.5.2 Problemi di natura geometrica di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 76

3.6 Scomposizione del trinomio di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.7 Regola di Cartesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8 Equazioni parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.9 Problemi di secondo grado in una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.9.1 Problemi con un parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.10.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Disequazioni di secondo grado 113

4.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.1.1 Equazione spuria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.1.2 Equazione pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.1.3 Equazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2 Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado . . . . . . . . . . . . 117

Rappresentazione di una funzione polinomiale di secondo grado nel

4.2.1 piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2.2 Segno di un trinomio di secondo grado per via grafica . . . . . . . . . . 121

4.3 Segno del trinomio a coefficienti letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4 Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . 125

4.5 Disequazioni fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.6 Sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.7.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

III Complementi di algebra 147

5 Equazioni di grado superiore al secondo 149

5.1 L’equazione di terzo grado, un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Indice v

5.2 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3 Equazioni binomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4 Equazioni trinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.1 Equazione biquadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.2 Equazioni trinomie con n maggiore di 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5 Equazioni che si risolvono con sostituzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.6 Equazioni reciproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.6.1 Equazioni di terzo grado reciproche di prima specie . . . . . . . . . . . . 156

5.6.2 Equazioni di terzo grado reciproche di seconda specie . . . . . . . . . . 156

5.6.3 Equazioni di quarto grado reciproche di prima specie . . . . . . . . . . . 157

5.6.4 Equazioni di quarto grado reciproche di seconda specie . . . . . . . . . 158

5.6.5 Equazioni di quinto grado reciproche di prima specie . . . . . . . . . . . 159

5.6.6 Equazioni di quinto grado reciproche di seconda specie . . . . . . . . . . 160

5.6.7 Equazioni reciproche di sesto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.7.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.7.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6 Sistemi non lineari 173

6.1 Sistemi di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.1.1 Sistemi di secondo grado numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.1.2 Sistemi di secondo grado letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.2 Sistemi frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.3 Sistemi in più incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4 Sistemi simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4.1 Sistema simmetrico fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.4.2 Sistemi simmetrici riconducibili al sistema simmetrico fondamentale . . 181

6.4.3 Sistemi non simmetrici riconducibili a sistemi simmetrici . . . . . . . . . 182

6.4.4 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . 183

6.5 Sistemi omogenei di quarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.6 Metodo di addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.7 Sostituzione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.8 Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo . . . . . . . . 188

6.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.9.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7 Equazioni e disequazioni con moduli 209

7.1 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.2 Equazioni in una incognita in valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.2.1 Equazioni nelle quali l’incognita è presente solo all’interno del modulo . 210

7.2.2 Equazioni nelle quali l’incognita si trova anche fuori dal modulo . . . . 212

7.3 Equazioni con più espressioni in valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.4 Disequazioni con valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.4.1 Disequazioni in cui l’incognita si trova solo nel modulo . . . . . . . . . . 215

7.4.2 Disequazioni in cui l’incognita si trova anche fuori dal modulo . . . . . 215

vi Indice

7.4.3 Disequazioni con più valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.5.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

8 Equazioni e disequazioni irrazionali 225

8.1 Equazioni irrazionali con un solo radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.1.1 Equazioni irrazionali con la radice di indice pari . . . . . . . . . . . . . . 225

8.1.2 Equazioni irrazionali con la radice di indice dispari . . . . . . . . . . . . 227

8.2 Equazioni con più radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.3 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

IV Introduzione alla probabilità 239

9 La probabilità 241

9.1 Gli eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.2 Definizioni di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.2.1 La valutazione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.2.2 La valutazione sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

9.2.3 La valutazione soggettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

9.3 Probabilità dell’unione di due eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

9.3.1 Unione di due eventi tra loro incompatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

9.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.4 Probabilità dell’evento complementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.5 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi . . . . . . . . . . . . . . . . 250

9.5.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti . . . . . . . . . . . . . . 250

9.5.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . 254

9.5.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata . . . . . . . . 256

9.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.6.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Prefazione

Guardando i libri di testo sia con gli occhi dell’insegnante che li usa, sia dell’autore che li

scrive, ci si rende conto di un fatto banale: chi scrive i manuali scolastici sono gli insegnanti,

chi li usa sono sempre gli insegnanti. Dal momento che oggi ci sono gli strumenti, sia quelli

on demand,

elettronici, sia il sistema della stampa che permettono di “circuitare” direttamente

autori e fruitori, mi sono deciso a intraprendere la creazione di un manuale di matematica

libero, nel senso più ampio che oggi, nell’era delle tecnologie dell’informazione e della

comunicazione, si riesce a dare a questo termine. Tuttavia, adottare “ufficialmente” un testo

scolastico nella scuola italiana è un fatto semplice solo se si segue un percorso consolidato nel

tempo, fatto più che altro di prassi e abitudini che non di leggi specifiche. Per rispondere a

queste esigenze questo Manuale è fatto di Autori, Contenuti, Supporti e Dati legali.

3

Il progetto “Matematica C ” ha per obiettivo la realizzazione di un manuale di

Obiettivi

matematica, per tutto il percorso scolastico e per ogni tipologia di scuola, scritto in forma colla-

Creative Commons.

borativa e con licenza Si propone, quindi, di abbattere i costi dell’istruzione,

ridurre il peso dei libri, invogliare gli studenti a usare il libro, promuovere l’autoformazione

per chi è fuori dai percorsi scolastici. Ha inoltre l’ambizione di avviare una sfida "culturale" più

ampia di una scuola più democratica, più libera, dove ognuno possa accedere gratuitamente

almeno alle risorse di base.

Il manuale è scritto in forma collaborativa da diverse decine di docenti di matematica

Autori

sulla base della loro esperienza reale di insegnamento nelle diverse scuole. Alla sua realizza-

zione hanno contribuito anche studenti e appassionati. Tutti hanno contribuito in maniera

gratuita e libera. 3 work in progress

Matematica C si presenta come un sempre aggiornato e miglio-

Contenuti

rabile da parte di tutti, docenti e studenti. Può essere liberamente personalizzato da ciascun

insegnante per adeguarlo alla scuola in cui insegna, al proprio modo di lavorare, alle esigenze

dei suoi studenti. È pensato non tanto per lo studio della teoria, che resta principalmente

un compito dell’insegnante, quanto per fornire un’ampia scelta di esercizi da cui attingere

per “praticare” la matematica. Lo stile scelto è quello di raccontare la matematica allo stesso

modo in cui l’insegnante la racconta in classe di fronte agli studenti. Gli argomenti sono

trattati secondo un approccio laboratoriale, senza distinguere eccessivamente tra teoria ed

esercizi; teoria, esempi svolti, esercizi guidati, esercizi da svolgere vengono presentati come

un tutt’uno. 3

Matematica C è scaricabile dal sito È dispo-

Supporti http://www.matematicamente.it.

nile in formato elettroni