Il limite si presenta in forma indeterminata
[math]\frac{0}{0}[/math]
. Si ha
[math]\displaystyle \lim_{n
\rightarrow\infty} \frac{\\sin\frac{1}{n}}{\\sin\frac{2}{\sqrt{n}}} =[/math]
\rightarrow\infty} \frac{\\sin\frac{1}{n}}{\\sin\frac{2}{\sqrt{n}}} =[/math]
[math] \displaystyle \lim_{n
\rightarrow\infty} \frac{\\sin\frac{1}{n}} {\frac{1}{n}}\cdot\frac{\frac{2}{\sqrt{n}}\frac{2}{\sqrt{n}}\frac{1}{4}}{\\sin\frac{2}{\sqrt{n}}}[/math]
\rightarrow\infty} \frac{\\sin\frac{1}{n}} {\frac{1}{n}}\cdot\frac{\frac{2}{\sqrt{n}}\frac{2}{\sqrt{n}}\frac{1}{4}}{\\sin\frac{2}{\sqrt{n}}}[/math]
Posto
[math] \displaystyle t = \frac{1}{n}[/math]
e [math] \displaystyle k = \frac{2}{\sqrt{n}}[/math]
risulta [math] \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\\sin t}{t}\cdot\lim_{k \rightarrow 0} (\frac{k}{\\sin k}\cdot k\cdot\frac{1}{4}) = 1\cdot 1\cdot 0\cdot \frac{1}{4} = 0[/math]
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