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Pubblicato il 23-05-09
http://www.matematicaescuola.it/Analisi/Università/Serie_Esercizi_n6.pdf
Studio di Serie numeriche
1.
Studiare la serie
+
+∞ 2 1
n
∑ 2 n
=
1
n
La serie è a termini positivi, dunque è regolare. Studiamo il limite del termine generale per
stabilire se è soddisfatta la .
condizione necessaria per la convergenza
+
2 1
n
= = , perché l’infinito al numeratore ha ordine uno, mentre quello al
lim lim 0
a
n 2 n
→+∞ →+∞
n n
denominatore è superiore a qualsiasi ordine prestabilito.
La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, pertanto la serie può convergere.
Per lo studio della convergenza applichiamo il criterio della radice. Si ha:
+ 1
2 1 1
n ( )
= ⋅ +
= lim lim 2 1
lim n
a
n n n
n 2
2 n →+∞
→+∞
→+∞ n
n
n = log
Ricordiamo ora che per ogni numero reale positivo x sussiste l’uguaglianza , per cui
x
x e
possiamo scrivere ( )
+
log 2 1
n
1 1 1 1
1
( )
+
log 2 1 = = ⋅ =
0
n
lim lim
n n e
e
e
2 2 2 2
→+∞ →+∞
n
n
Avendo ottenuto per il limite un numero positivo minore di uno concludiamo che in
la serie
esame .
converge
2. +
+∞ 3 1
n
∑ 2 n
=
1
n La serie è ancora a termini positivi, quindi è regolare. Si riconosce agevolmente che il limite
del termine generale è ancora zero (il cui compito si lascia al lettore),
+
3 1
n
= =
lim lim 0
a
n 2 n
→+∞ →+∞
n n
quindi è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza.
Applicando ancora il criterio della e radice si ottiene come limite ancora
+
3 1 1
n
= =
lim lim , per cui .
a la serie converge
n n
n 2
2 n
→+∞ →+∞
n n
Osservazione
Per lo studio del limite si tenga presente che
( )
3 +
log 1
1 x
1 ( )
( ) 3 +
log 1 x
x
+ = =
3
lim 1 lim lim x
x e e
x →+∞
→+∞ →+∞
x x x
e che applicando la regola di De l’Hôpital si ha
( ) 1
+
3
log 1 ⋅ = =
2
x lim 3 ... 0
.
H x
=
lim +
3 1
→+∞ x
x
→+∞ x
x Luigi Lecci: 1
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