Teoremi di Hopital, Taylor, Weierstrass

Teorema di De L'Hôpital

Questo teorema serve a calcolare i limiti delle funzioni indeterminate.

• f(x), g(x) continue e derivabili in un intervallo:

^a_{INTERVALLO c:}

F.I. ⁰/₀ forma INDETERMINATA (o ^∞/_∞)

Applico il teorema:

^{lim f'(x)} = ^{lim f'(x)}

_{x -> c} g'(x) _{x -> c} g'(x)

Esempio:

• 0

f(c) = 0 e g(c) = 0 = ^f(x) |^{f(c) - f(c)} |^{g(x) - g(c)}

^g(x) - g(c) _{x - c} | _{x - c} | _{x - c}

Ne calcolo il limite:

^{lim f'(x)} = ^{f(x) - f(c) / g(x) - g(c)}

_{x -> c} g'(x) _{x -> c x - c}

9-3-2015

F.I. [∞/∞] ⇒ lim ^f(x)

_{x -> c} ^g(x)

Le g sono funzioni derivabili in un intervallo [x, c] funz. Esiste sempre rapporto di L'Hôpital

Esempio: x ^{-1 lim f(x)}

_{x -> a} ^g(x)

a(x) e b(x) derivabili, c ∈ intervallo ∃ limit (a, b)

^∞ ⇒ lim ^f'(x)

_{x -> c} ^g'(x)

Andiamo a verificare la condizione di cui sopra rapporto di l'Hôpital.

Esempio: lim ^x∞ x₂

^{x ---no ∞}

RISOL VO SUPP VOCA SOL

REQUISITI

NO: UTILIZZARE LA SCALA DEGLI INFINITI

Teorema di De L'Hopital

Questo teorema serve a calcolare i limiti delle funzioni indeterminate.

Ipo :

• 1) f(x) continua e derivabile in un intervallo: (a,b)

f=> FORMA INDETERMINATA

Applico il teorema

Esempio:

Ne calcolo il limite.

lim

F.I.

Es:

F.I.

Se esiste il limite il limite di

Esemp:

F.I.: calcolare il limite.

9-3-2015

Osservazioni:

se _x ^f(x) _g(x) non esiste, non è possibile dire qualcosa su

Esempi:

1. _x ^sinx _x Risolvo il limite della DERIVATA_x ^cosx = cos⁰ =1, quindi_x ^sinx =1
2. _x ^(1+x)α−1 _x Risolvo il limite della DERIVATA:_x ^{α(1+x)α−1} =α quindi_x ^(1+x)α−1 =α
3. _x ^1−cosx _x Risolvo il limite della DERIVATA_x ^sinx =1_x =13
4. _x ^sinx−x Risolvo il limite della DERIVATA:_x ^cosx−1 =1_x =1quindi_x ^sinx−x =1
5. _x ^ex−1−x2 _x² Risolvo il limite della DERIVATA:_x ^ex−1 =¹ ₆Limite notevoleche in questo caso tende a 1.

Applico de l'Hopital

E comunque per_x lim ^ex−1+x2 _{x2Riscrivo una nuova irrelevante ogni casoUsiamo subito la DERIVATA}

1. _x ^lnx =^∞ _xRieseguo la toga e ricomponiamo quindi otteniamo₂ ∫−1 (−^x)
2. _x ^ln₂x _x Nuovamente forma_x→+∞
3. _x =^√_xRieseguo e poi compongo un_x+∞quindi
4. x ln2 x xRipetuto quindi1 x = ∞

Permettono il limite delle derivate

n+2 E I 1 a= 1

se n=1:

ln(e^x+sinx)

elavore n: (n l)x

ln(x) n l cos x

+se n 1

se n > 2 il limite = infinito

ln(x) = 0/x stentiamo * log x=x-0'

x -> 0

Supponiamo comunque di dover applicare il

il registro di si. > ln_x = ln (0/S)

con basi di a partecio chesepoundei

^xx per [ilrisicato] i due

(0⁰) ln(x) a ln(s) z uso delle forme

Considerissimo a parte di

e stesso f dice lim/x x

volg anche il procedimento inverso.

consideriamo "x" ma uso la parte che

prendebisogno di 2 .

Teorema di Weierstrass

Se f continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora ammette sempre massimo e minimo globale.

Punto di f e continua in x₀.

Questa funzione determina il massimo valore assoluto di una funzione f.

Se f è DERIVABILE

Questa è la migliore retta, non necessaria è una costante. Le approssimazioni di f(x).

Ma ora lo tenuto conto delle approssimazioni fatte con delle rette.

Adesso approssimiamo con la funzione PARABOLA

La miglior parabola che approssima f(x), se f ammette derivata seconda, è:

Teorema di Taylor

È un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabili ottenute con dei dati. Medianti il Polinomio di Taylor, coefficenti calcolati con le derivate della funzione nel punto:

n indica il grado del polinomio.

L'idea del polinomio di Taylor è, quella di approssimare una funzione con un polinomio, una successione crescente in modo globale locale, in modo vicino al punto.

Quindi si fa definizione e derivabile "nume" di volte in un cerchio intorno a x₀. Il codici purché le funzioni convergano dentro celle funzione zero x. Sono sempre con il ricalcuno di Taylor.

Funzioni Espresse di Taylor

g(x) = e^x con x₀ = 0 (Centro in 0)

g'(x) = e^x

In tutti questi casi la f(0) è precisa sela f(0) è lavoro con rubberpoi ci g₀ esempio e f.

g'(x₀) = g(x)₀ g'(x₀) = g"⁰(x₀)

Quindi tutte e derivate esprimono 1 se x₀ = 0

polinomio di Taylor si può scrivere come:

T_n(x)=_k=0∑^{∞ xk}/_k!

g(x) = sinx con x₀ = 0

• g'(x) = cosx →
• g''(x) = -sinx →
• g'''(x) = -cosx →
• g''''(x) = sinx →
• g'''''(x) = cosx →
• g''''''(x) = -sinx

g'(x₀) = cosx → x₀ = 0 ⇒ 1

g''(x₀) = -sinx → x₀ = 0 ⇒ 0

g'''(x₀) = -cosx → x₀ = 0 ⇒ -1

g''''(x₀) = -sinx → x₀ = 0 ⇒ 0

g''''''(x₀) = cosx → x₀ = 0 ⇒ 1

In derivante di ordine pari, il risultato è 0e quando 10 termina con 0

In derivante di ordine dispari, invece, si alterna tra 1 e 1

Quando:

• T₀ = 0, T₁ = 1 + 0 0 g'(x) (x - x₀), T₂ = x
• T₄ = x - x³/_3!