Laboratorio progettuale di calcolo strutturale

Name: Laboratorio progettuale di calcolo strutturale
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Author: martina.riccio

Revisionato il 29/04/2026

di martina.riccio

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Appunti integrati ed elaborati delle lezioni del professor Carboni, divisi nei seguenti argomenti: Elementi bar, elementi beam, elementi piani, strategie di modellazione, formulazione …

Esame Laboratorio progettuale di calcolo strutturale

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Carboni Michele

Università Politecnico di Milano

A.A. 2012-2013

71 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Valutazione progettuale di calcolo strutturale

Approcci alla progettazione

Analitico → Esatto ^P_i
Sperimentale → Reale / Costoso ------------- ^P_e
Numerico → Versatile / Approssimato _{u} = [K]^-1{F}

Metodo agli elementi finiti - FEM

È un metodo numerico utilizzato per risolvere problemi strutturali, termici, fluidodinamici ecc. Fornisce una soluzione numerica ad un problema specifico.

Schema analisi strutturali

La struttura da analizzare viene suddivisa in elementi finiti (scelta approcci accettabili) in masse denominate "riferimenti". Gli elementi sono collegati fra loro solo in alcuni punti, detti nodi, e la grafica è denominata MESH.

Struttura analitica

Linee elastiche:

E _T ^d²u/_dx² = 0

Struttura discreta

|| K₁₁ - K_1n | {u₁}| - K_n1 K_nn | {u_n}

Matrice di rigidezza Vettore spostamenti Vettore forze nodali In generale esse appaiono come variazioni degli spostamenti, quindi di includere un'approssimazione dell'andamento di forza (problemi semplici) che modellano il campo degli u_i.

Assegnando vincoli e carichi (riferiti ai nodi) si avrà una risoluzione del tipo:

[K] {u} = {F} → {u} = [K]^-1 {F}

[K] = matrice di rigidezza (introduce geometria e materiale dell'oggetto esprimento relazioni riferite ai nodi sviluppando nel rispetto dei gradi di libertà nei nodi).

Approcci alla progettazione

Analitico - Esatto
Sperimentale - Reale/costoso
Numerico - Versatile/approssimato

Metodo agli elementi finiti - FEM

È un metodo numerico utilizzato per risolvere problemi strutturali, termici, fluidodinamici ecc. Fornisce una soluzione numerica ad un problema specifico.

Schema analisi strutturale

La struttura da analizzare viene suddivisa in elementi finiti (scelta approcci accettabili) di varie dimensioni ripet. (estensione). Gli elementi sono collegati tra loro solo in determinati punti, detti nodi, per costruzione da griglia e chiamata mesh.

Struttura analitica

Linee elastiche:

ET ^d²u/_dx² = 0 (e.c.)

Struttura discreta

|| K₁₁ -K₁₂ | | u₁ | = | F₁ |

| -K₁₂ K₂₂ | | u₂ | | F₂ |

Matrice di rigidezza Vettore spostamenti Vettore forze nodali In generale viene applicato come sconosciuto, quindi si introduce un'approssimazione utilizzando funzioni di forma (polinomi semplici) che modellano il campo degli u.

Assegnando vincoli e carichi (riferiti ai nodi) in nodo un'unica equazione del tipo:

[K] {u} = {F} => {u} = [K]^-1 {F}

[K] = matrice di rigidezza (introduce geometria e materiali dell'oggetto esprimendo relazioni riferite ai nodi sviluppati, nel rispetto ad una modalità nei nodi stessi).

Noti gli spostamenti {u_j} vengono facilmente opposte relazioni di interoperabilità e sforzi.

Elementi 1D

Geometria monodimensionale e applicazione spaziale, utilizzati per componenti che hanno una dimensione preponderante sulle altre.

Elementi BAR/TRUSS

(Biella - Di solo azione assiale)

Equilibrio di un’asta:

σ = Eε legge di Hooke

ε = ΔL/L = (u₂ - u₁)/L

Equilibrio ai nodi:

F₁ + σA = 0
F₂ - σA = 0
F₁ = -EA/L (u₂ - u₁)
F₂ = EA/L (u₂ - u₁)

In forma matriciale:

[k] = [k -k -k k] con k = EA/L

Formulazione della rigidezza

Metodo diretto

Considero un elemento bar, F_ij: Forza di nodo i associata allo spostamento del nodo j

u₁ = 1, u₂ = 0 => F₂₁ = F₁₁ = Ku₁

u₁ = 0, u₂ = 1 => F₁₂ = F₂₂ = Ku₂

Ora scriviamo l'equilibrio nodale

F_i: forza risultante al nodo i.

F₁ = F₁₁ - F₁₂ = K (u₁ - u₂)
F₂ = F₂₂ - F₂₁ = K (u₂ - u₁)

\[ \begin{bmatrix} k & -k \\ -k & k \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \]

= \[ \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \end{bmatrix} \]

dove \( K = \frac{EA}{L} \)

Una colonna di \([K]\) rappresenta quel vettore da forza nodale che deve essere applicato all'elemento per causare uno stato di deformazione con il corrispondente gradiente del vettore.

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