Sorgenti di rumore nell'elettronica di consumo

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niversit degli tudi di apoli

F ederico II

Dipartimento di Ingegneria Elettrica e

delle Tecnologie dell’Informazione

Classe di Laurea in Ingegneria dell’Informazione, Classe n. L.8

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Elaborato di Laurea

Sorgenti di rumore nell'elettronica di consumo

Relatore: Vincenzo D'Alessandro

Ch.mo Prof. Anno Accademico

2020/2021

Rumore Elettronico e Sorgenti di Rumore

1.1 – Introduzione

La discussione ha finora evidenziato l’esistenza di un compromesso tra guadagno

e larghezza di banda a livello di singolo componente. Per incrementare il

guadagno di tensione, è opportuno portare la polarizzazione del transistor verso

il regime di inversione moderata o, eventualmente, debole. In tale condizione, il

guadagno di picco dipende dalla lunghezza del canale del transistor: all’aumentare

della lunghezza, il guadagno cresce. Tuttavia, sia il funzionamento in inver-

sione moderata/debole sia l’aumento della lunghezza del canale penalizzano la

larghezza di banda. Spetta al progettista scegliere il punto di lavoro più idoneo

in base all’applicazione specifica.

Si noti inoltre che, in tutte queste equazioni, non vi è una dipendenza es-

plicita dalla corrente. Né il guadagno di tensione massimo né il valore di f

T

dipendono dalla corrente; ciò implica che le prestazioni in termini di guadagno

e larghezza di banda sono raggiungibili anche con correnti di polarizzazione

molto basse, minimizzando cosı̀ la dissipazione di potenza. Questa conclusione

risulta estremamente interessante ogniqualvolta il consumo di potenza o di en-

ergia rappresenti un vincolo progettuale. Tuttavia, poiché nulla è gratis, occorre

chiedersi quale parametro prestazionale determini un valore minimo per la cor-

rente di polarizzazione. La risposta è il rumore.

1.2 – Descrizione rumore

Da un punto di vista concettuale, qualsiasi forma d’onda di segnale può essere

suddivisa nella sovrapposizione di tre contributi: un termine dovuto al segnale

di interesse, il contributo dovuto al disturbo generato da sorgenti esterne e un

contributo dovuto al rumore elettronico dei componenti del circuito:

y(t) = s(t) + n(t) + d(t) (1)

In linea di principio, i disturbi possono essere schermati adottando misure

opportune. Il rumore elettronico è invece inevitabile, poiché deriva da flut-

tuazioni statistiche generate dai processi fisici coinvolti nel funzionamento dei

dispositivi elettronici. Nell’ambito della presente trattazione, tali fluttuazioni

saranno considerate caratterizzate da una distribuzione di ampiezza gaussiana,

valore medio nullo (Figura 1) e parametri indipendenti dal tempo (ovvero, il

rumore costituisce un processo stazionario):

1

Figure 1: (a) Un rumore gaussiano stazionario; (b) Probabilità che un campione

±x/σ

casuale ricada nell’intervallo 1 2

v

−

√ (2)

p(v) = e 2

2σ

σ 2π

dove p(v) è la probabilità che si verifichi una fluttuazione di ampiezza dovuta

al rumore e σ è la corrispondente deviazione standard.

Per disporre di un riferimento quantitativo relativo all’ampiezza minima del

segnale rilevabile e distinguibile dal rumore con sufficiente affidabilità, l’aspetto

fundamental è, nella maggior parte dei casi, l’ampiezza delle fluttuazioni del ru-

more stesso. A tal fine, il valore σ costituisce un valido parametro di riferimento.

La Figura 1b illustra la probabilità che un valore casuale ricada nell’intervallo

±x/σ rispetto alla media di una distribuzione gaussiana; oltre il 68% dei cam-

±σ.

pioni è compreso nell’intervallo Vediamo ora come stimare tale valore,

tenendo conto sia dell’intensità delle sorgenti di rumore sia della loro propagazione

attraverso i circuiti fino al nodo di uscita.

Per quanto riguarda i segnali, anche la forma d’onda casuale di rumore n(t)

– di tensione o di corrente – può essere descritta mediante la sovrapposizione di

componenti armoniche ortogonali di opportuna ampiezza. A tal fine, consideri-

amo una forma d’onda costituita dalla somma di due armoniche:

x(t) = A sin(ω t + ϕ ) + B sin(ω t + ϕ ) (3)

1 1 2 2

Il valore medio è nullo, mentre il valore quadratico medio è dato dalla

seguente media temporale:

2 2

2 2 2

⟨x(t) ⟩ ⟨A

= sin (ω t+ϕ )+B sin (ω t+ϕ )+2AB sin(ω t+ϕ ) sin(ω t+ϕ )⟩

2 2 1 1 2 2

1 1 (4)

⟨·⟩

Dove il simbolo indica la media temporale. Poiché le armoniche sono

funzioni ortogonali, il terzo termine — corrispondente alla media temporale

del prodotto tra armoniche con frequenze diverse — è nullo. Ne consegue che

il valore quadratico medio è pari alla somma dei valori quadratici medi delle

singole armoniche: 2 2

A B

2

⟨x(t) ⟩ = + (5)

2 2

2

Poiché n(t) ha valore medio nullo, l’equazione precedente corrisponde alla

varianza: la varianza è dunque pari alla somma delle varianze delle singole

armoniche che costituiscono la forma d’onda. Da un punto di vista pratico, la

radice quadrata della varianza fornisce il valore efficace (RMS), ovvero l’ampiezza

del rumore.

Affinché un segnale possa essere rilevato, la sua ampiezza deve essere al-

meno superiore al valore efficace del rumore. La sensibilità limite di un circuito

dipende dal livello di rumore: minore è il valore efficace del rumore, migliore è la

sensibilità del circuito. Più in generale, si può affermare che il valore quadratico

medio di una forma d’onda di rumore n(t), caratterizzata da proprietà indipen-

denti dal tempo (stazionarie), può essere espresso come somma delle varianze

delle singole componenti: X

2 2

σ = σ (6)

i

i

L’integrale nell’ultimo passaggio corrisponde al passaggio da un sistema di

riferimento discreto a uno continuo, introducendo una funzione di densità spet-

trale, S (f ):

n +∞

Z

2

σ = S (f ) df (7)

n

0

Ciò significa che la densità spettrale S (f ) valutata in una banda elementare

n 0

2

∆f corrisponde alla varianza elementare ∆σ : 2

S (f )∆f = ∆σ (8)

n 0

Ovvero, la densità spettrale S (f ) corrisponde al rapporto tra la varianza

n

dovuta alle componenti di rumore all’interno di una banda elementare ∆f e la

banda stessa.

A titolo di riferimento, consideriamo un resistore a temperatura assoluta T .

La differenza di potenziale ai suoi capi ha valore medio nullo; tuttavia, saranno

certamente presenti fluttuazioni statistiche con distribuzione di probabilità gaus-

siana e un valore efficace (RMS) crescente con la temperatura (Figura 2). Tali

fluttuazioni sono dovute al moto browniano degli elettroni liberi all’interno del

resistore. Può certamente accadere che, a causa del moto casuale dei porta-

tori di carica, in un dato istante un numero maggiore di elettroni si muova

verso l’elettrodo inferiore o, viceversa, verso quello superiore, generando cosı̀

fluttuazioni statistiche della differenza di potenziale tra i due elettrodi.

La velocità dei portatori dovuta all’agitazione termica a T = 300 K è di

8

circa 10 cm/s. Inoltre, ciascun portatore subisce scattering a causa degli ioni,

potendo cosı̀ invertire la direzione del proprio moto in meno di 1 ps. Di con-

seguenza, si prevede che le fluttuazioni di potenziale siano molto rapide, dando

luogo a uno spettro di frequenza molto ampio.

Indicando con S (f ) la densità spettrale di potenza di tali fluttuazioni di

n

tensione, la fluttuazione statistica ai capi del resistore può essere rappresentata

mediante il circuito equivalente di Figura 3, in cui un generatore di rumore di

3

Figure 2: Rumore Termico ai capi di un resistore.

Figure 3: Trasferimento armonico del rumore all’uscita di una rete lineare.

tensione statistico è posto in serie al resistore ideale (privo di rumore). Si noti

che S (f )∆f rappresenta il valore quadratico medio dovuto alle armoniche di

n

tensione attorno alla frequenza f . Se il resistore viene collegato ai terminali di

una rete lineare caratterizzata da una funzione di trasferimento T (s), ciascuna

armonica sarà trasferita all’uscita indipendentemente dalle altre, determinando

cosı̀ un contributo al valore quadratico medio della variabile di uscita pari a:

2

S (f )|T (j2πf )| df (9)

n

Si noti che lo sfasamento subito da ciascuna armonica durante il trasferi-

mento dall’ingresso all’uscita non ne modifica il valore quadratico medio. Per-

tanto, nella densità spettrale di uscita derivata sopra, la funzione T (s) appare

con il suo modulo quadratico.

Più in generale, si può concludere che ogni rumore fisico nei circuiti può essere

rappresentato dal corrispondente generatore di densità spettrale di potenza.

Gli effetti di queste sorgenti sulle fluttuazioni di una variabile elettrica (ad

esempio tensione, corrente, carica. . . ) possono essere valutati sommando le di-

verse densità spettrali dopo che ciascuna di esse è stata moltiplicata per il mod-

ulo quadrato assoluto del trasferimento corrispondente (Figura 4). In termini

simbolici: 2 2

S (f ) df = S (f )|T (j2πf )| df + S (f )|T (j2πf )| df + . . . (10)

out n1 1 n2 2

Se le sorgenti sono gaussiane e stazionarie, il rumore risultante è gaussiano

e stazionario con una deviazione standard data da:

4

Figure 4: Trasferimento di più sorgenti di rumore ai nodi di uscita.

s +∞

Z

σ = S (f ) df (11)

out out

0

1.3 – Rumore termico in resistore e MOSFET

La densità spettrale di potenza del rumore, S (f ), delle fluttuazioni di ten-

V

sione tra i terminali del resistore può essere derivata partendo dall’ipotesi che lo

spettro sia costante nell’intervallo di frequenza. Infatti, poiché le fluttuazioni di

ampiezza del rumore sono molto brevi nel tempo, ci si aspetta che il loro spet-

tro sia simile alla trasformata di Fourier di funzioni delta, suggerendo quindi

un’ampiezza spettrale costante, almeno nell’intervallo di frequenza di nostro

interesse. Tale ipotesi sarà pienamente giustificata nelle lezioni successive, ded-

icate a una discussione più accurata dei modelli di rumore, basata su un argo-

mento più rigoroso. Consideriamo quindi:

S (f ) = W (12)

n

Essendo indipendente dalla frequenza, questo tipo di rumore viene definito

”rumore bianco”, poiché ricorda la proprietà della luce bianca, generata dalla

sovrapposizione di tutte le componenti elettromagnetiche dello spettro visibile

con la stessa ampiezza.

Consideriamo ora la presenza di un condensatore in parallelo al resistore

(Figura 5). L’introduzione di un condensatore è il modo più semplice per

modellare o compensare la limitazione di banda degli amplificatori successivi,

definendo cosı̀ la banda di frequenza osservata.

Ogni componente armonica del rumore di tensione del resistore provoca flut-

tuazioni della tensione ai capi del condensatore; la funzione di trasferimento che

collega il segnale di tensione v alle fluttuazioni di tensione v dovute alla sor-

C n

gente di rumore è data da: 1 1

v C = T (s) = = (13)

v 1 + sRC 1 + sτ

n 5

Figure 5: Rumore termico in una rete RC.

Pertanto, il valore quadratico medio delle fluttuazioni di tensione ai terminali

del condensatore è dato da:

+∞ +∞

Z Z

2 2 2 2

⟨v ⟩ |T

= σ = S (f )|T (j2πf )| df = W (j2πf )| df (14)

V

C 0 0

Ponendo x = 2πf , l’integrale diventa:

+∞ +∞

Z Z

W W W π W

W d(xτ ) +∞

2

⟨v ⟩ ·

= df = = [arctan(xτ )] = =

C 0

2 2

1 + (2πf τ ) 2πτ 1 + (xτ ) 2πτ 2πτ 2 4τ

0 0 (15)

Il valore quadratico medio è pari alla densità spettrale di potenza del rumore

W moltiplicata per una larghezza di banda di 1/(4τ ). Quest’ultima larghezza

di banda è la cosiddetta larghezza di banda equivalente del rumore (ENBW,

Equivalent Noise Bandwidth). Poiché risulta da una procedura di integrazione

con il modulo quadrato della funzione di trasferimento, il suo valore non deve

necessariamente essere esattamente uguale alla larghezza di banda del segnale

−3

a dB. Per un rumore bianco filtrato da un sistema a polo singolo, essa è un

−3

fattore π/2 maggiore della larghezza di banda del segnale a dB:

1 π ·

ENBW = = BW (16)

−3dB

4τ 2

Il valore W può ora essere ottenuto sulla base di un argomento termodinam-

ico. Si noti che l’energia immagazzinata dal sistema nella Figura 5 dipende solo

dalla differenza di potenziale, v , ai capi del condensatore. Questa tensione

C

è l’unica variabile di stato. Una volta impostato v , l’energia del sistema è

C

fissa. Il sistema ha quindi un singolo grado di libertà e, secondo il principio di

equipartizione dell’energia, all’equilibrio termico la sua energia media è pari a

1 k T . Possiamo quindi scrivere:

B

2 1 1 k T

B

2 2

⟩ ⟨v ⟩

C⟨v = k T =⇒ = (17)

B

C C

2 2 C

6

Figure 6: (a) Modello di rumore equivalente di Thévenin di un resistore rumor-

oso. (b) Rumore di corrente attraverso un resistore con un cortocircuito ai suoi

terminali e modello equivalente di Norton.

Figure 7: (a) Modello di rumore di un MOSFET. (b) Rapporto segnale/rumore

ai capi del transistor di ingresso

Uguagliando il risultato con l’espressione precedente per il valore quadratico

W

medio ( dove τ = RC), otteniamo:

4τ W k T

B

= =⇒ W = 4k T R (18)

B

4RC C

Questo risultato stabilisce il collegamento tra l’intensità della densità spet-

trale del rumore di potenza della tensione e il valore della resistenza (Legge di

Nyquist).

La Figura 6a mostra il circuito equivalente di tipo Thévenin di un resistore

rumoroso. Una sorgente di tensione di rumore, con la corrispondente densità

spettrale di potenza S (f ) = 4k