Ottimizzazione delle reti sociali in contesti organizzativi

Dipartimento di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Modelli di ottimizzazione per la

massimizzazione delle relazioni sociali

in contesti organizzativi

Tesi di Laurea in

Laboratorio di strumenti di ottimizzazione

Relatore: Presentata da:

Prof. Enrico Malaguti Matteo Foschini

Sessione Ottobre 2025

Anno Accademico 2024/2025

Indice

1 Introduzione 3

1.1 La Ricerca Operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Obiettivi della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Struttura della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Fondamenti teorici 6

2.1 Variabili, vincoli e funzioni obiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Ottimizzazione combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Teoria dei grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Reti sociali e modelli di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Il problema proposto 9

3.1 Introduzione al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Formalizzazione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Variabili decisionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Vincoli del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5 Caso deterministico e caso probabilistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6 Funzioni obiettivo nei due casi ed evoluzione della rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.7 Valori della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

p

i,l

3.8 La scelta dell’attività per ogni stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Metodologie di risoluzione 16

4.1 Tecniche di risoluzione in generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.1 Metodi esatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Algoritmi euristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.3 Metaeuristiche e approcci ibridi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.4 Confronto sintetico tra gli approcci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Strumenti di modellazione e risoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Pyomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 GLPK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Caso base – deterministico, 1 stage, attività fissata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.2 Struttura del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

4.3.3 Linearizzazione dei contatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.4 Funzione obiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3.5 Implementazione con Pyomo e GLPK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Caso deterministico con scelta dell’attività (1 stage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4.2 Modifiche rispetto al modello di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4.3 Implementazione con Pyomo e GLPK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5 Caso multistage con scelta dell’attività (deterministico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.2 Modifiche rispetto al caso precedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.3 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.4 Implementazione con Pyomo e GLPK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Analisi sperimentale 29

5.1 Scenario A (n=6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Scenario B (n=12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Attività disponibili (grafi descrittivi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.2 Grafo delle preconoscenze iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

K

5.2.3 Soluzione proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.4 Grafo finale delle conoscenze (colori per origine dei legami) . . . . . . . . . . . . . . . 35

4

K

5.2.5 Conclusioni (densità iniziale vs finale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Analisi computazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Conclusioni 37

2

Capitolo 1

Introduzione

Nel contesto lavorativo odierno, sempre più caratterizzato da dinamiche ibride e digitali, la capacità di costruire

e mantenere relazioni solide tra i membri di un’organizzazione rappresenta un punto fondamentale per il futuro

successo aziendale. La collaborazione non risulta soltanto un qualcosa di astratto, ma è una vera e propria

leva strategica capace di incidere direttamente sulla produttività, sulla capacità innovativa e sul benessere

dei dipendenti. In questo scenario, le attività di team building diventano fortemente impattanti per favorire

coesione, senso di appartenenza e fiducia reciproca.

I dati confermano con chiarezza questa importanza, infatti secondo uno studio il 52% dei dipendenti dichiara

di aver lasciato, o valutato di lasciare il proprio posto di lavoro per la mancanza di un senso di appartenenza nel

team, mentre il 79% riconosce che le attività di team building rafforzano le relazioni e aumentano la soddisfazione

lavorativa. Tali pratiche non impattano solo a livello relazionale, ma hanno effetti misurabili anche sui risultati

economici, con incrementi stimati del 14% della produttività e del 23% della profittabilità [10]. Questi numeri

dimostrano come la creazione di legami interpersonali sia non solo un qualcosa di astratto, ma anche conveniente

dal punto di vista gestionale.

Ci viene in soccorso anche la letteratura di psicologia delle organizzazioni la quale sottolinea come le di-

namiche interpersonali influenzino positivamente il funzionamento delle strutture aziendali. La capacità di

comunicare in modo chiaro, costruire fiducia e sviluppare empatia è ormai ritenuta come una competenza cen-

trale per manager e dipendenti, al pari delle abilità tecniche [1, 15].

In questa prospettiva, lavorare di squadra non è semplicemente un “modus operandi”, ma costituisce il fonda-

mento su cui si costruiscono organizzazioni sane, resilienti e capaci di affrontare le sfide complesse di un mercato

sempre più esigente e variabile. 3

1.1 La Ricerca Operativa

Per ricerca operativa (OR, Operational Research) intendiamo una disciplina in grado di supportare decisioni

complesse attraverso l’utilizzo di modelli matematici. L’obiettivo quindi è quello di fornire soluzioni ottimali o

buone, in contesti caratterizzati da risorse limitate e vincoli da rispettare.

In generale i punti fondamentali dell’OR sono:

• Tradurre un problema reale in modo matematico, individuando variabili decisionali, vincoli e funzione

obiettivo

• Analizzare il problema con strumenti matematici

• Ottenere soluzioni pratiche e applicabili che possono supportare le nostre future decisioni strategiche e

operative

Uno degli aspetti fondamentali, se non il più importante, della ricerca operativa è la modellizzazione,

ovvero la capacità di tradurre una situazione reale complessa in un modello astratto semplificato, riuscendo così

ad analizzarlo.

Nella tesi la ricerca operativa fornisce gli strumenti utili per risolvere il problema dell’ottimizzazione della

disposizione dei dipendenti in un ambiente aziendale, con il fine di massimizzare la probabilità di creazione di

nuove relazioni sociali. Verranno utilizzati diversi strumenti come:

• Modelli di programmazione matematica per descrivere formalmente il problema proposto

• Tecniche euristiche o approssimative per gestire casi di dimensioni maggiori, dove trovare la soluzione

ottima sarebbe troppo gravoso a causa dei tempi di computazione elevati

• Analisi sui grafi per modellare le connessioni tra i posti disponibili e tra le persone

1.2 Obiettivi della tesi

La tesi ha l’intenzione di analizzare e modellare le dinamiche relazionali all’interno di un gruppo di lavoro azien-

dale, ponendo particolare attenzione al ruolo che ha la disposizione spaziale e alle preconoscenze nella creazione

di nuove relazioni sociali.

L’obiettivo principale della tesi è quindi quello di sviluppare e risolvere un modello di ottimizzazione in grado

di: • definire un modello matematico di ottimizzazione che rappresenti la di-

Formalizzare il problema:

sposizione dei dipendenti nelle diverse attività di team building, specificando variabili, vincoli e funzione

obiettivo.

• implementare il modello con metodologie esatte e valutare

Sperimentare diversi approcci risolutivi:

possibili estensioni euristiche, analizzandone punti di forza e limitazioni.

• analizzare i risultati ottenuti in termini di nuove relazioni generate

Valutare la qualità delle soluzioni:

e di densità della rete sociale, confrontando gli scenari prodotti.

4

• osservare come variano i tempi di risoluzione e le prestazioni

Studiare la complessità computazionale:

del modello all’aumentare della dimensione del problema (numero di partecipanti, attività, stage).

La tesi si colloca all’intersezione tra l’informatica, la ricerca operativa e la psicologia delle organizzazioni, con

l’obiettivo di fornire al manager uno strumento non solo di carattere teorico, ma anche di supporto decisionale

nella gestione delle risorse umane e nelle attività di team building.

1.3 Struttura della tesi

La tesi è articolata nei seguenti capitoli:

• – Introduzione: presentazione del contesto, importanza delle relazioni interpersonali in azienda

Capitolo 1

e ruolo della ricerca operativa nello studio delle dinamiche organizzative.

• – Quadro teorico e rassegna della letteratura: introduzione ai concetti fondamentali di ricerca

Capitolo 2

operativa, modelli di ottimizzazione, analisi di network sociali.

• – Modellizzazione del problema: descrizione formale del problema della disposizione dei dipen-

Capitolo 3

denti, definizione delle variabili decisionali, dei vincoli, della funzione obiettivo, distinzione tra approccio

deterministico e probabilistico e di come venga calcolata la probabilità.

• – Metodologie di risoluzione: presentazione degli approcci adottati, con distinzione tra metodi

Capitolo 4

esatti e tecniche euristiche o approssimative.

• – Analisi sperimentale: applicazione del modello a "casi di studio", interpretazione dei risultati

Capitolo 5

e discussione critica.

• – Conclusioni: sintesi dei principali risultati, contributi della ricerca, limiti dello studio e

Capitolo 6

possibili sviluppi futuri.

Questa struttura consente di passare gradualmente dal contesto generale e dalla teoria di riferimento, alla

modellizzazione matematica, fino all’applicazione pratica e all’analisi dei risultati ottenuti.

5

Capitolo 2

Fondamenti teorici

In questo capitolo andremo ad introdurre i principali concetti teorici che costituiscono le basi della ricerca

operativa e dell’analisi dei sistemi complessi. Verranno affrontati i concetti di variabili, vincoli e funzioni

obiettivo all’interno di un modello, con annesso esempio. Successivamente facciamo un quadro sui problemi

di ottimizzazione combinatoria e sulla teoria dei grafi, con un approfondimento sui modelli probabilistici di

diffusione e creazione di legami sociali. L’obiettivo è fornire al lettore gli strumenti concettuali per comprendere

come i problemi reali possano essere tradotti da poche equazioni e studiati con un approccio scientifico.

2.1 Variabili, vincoli e funzioni obiettivo

Ogni modello matematico in ricerca operativa è costituito da tre elementi fondamentali [8]:

• rappresentano le scelte possibili, ovvero le grandezze che possono assumere valori

Variabili decisionali:

diversi in funzione delle decisioni da prendere. Esempio: decidere se un certo compito venga assegnato a

un certo lavoratore.

• sono le condizioni che limitano lo spazio delle soluzioni ammissibili. Possono rappresentare

Vincoli:

risorse limitate, regole logiche, condizioni fisiche o temporali. Si distinguono tipicamente in:

vincoli di capacità (es. non superare un certo limite)

– vincoli di unicità (es. un compito assegnato a un solo lavoratore)

– vincoli logici (es. se A è vero, allora anche B deve esserlo)

–

• definisce il criterio di ottimalità, ossia la quantità da massimizzare o minimizzare

Funzione obiettivo:

(es. massimizzare il profitto, minimizzare i costi).

L’interazione tra variabili, vincoli e funzione obiettivo permette di trasformare problemi complessi in sistemi

risolvibili, dove le possibili soluzioni vengono esplorate all’interno di un insieme definito e strutturato.

6

Esempio esemplificativo

Consideriamo un problema di assegnamento con lavoratori (i e compiti (j

n = 1, . . . , n) m = 1, . . . , m).

Variabili decisionali

 se il lavoratore esegue il compito

1 i j



 ∀i

x = = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m

ij altrimenti

 0



Vincoli

m

X (ogni lavoratore esegue esattamente un compito) (2.1)

∀i

x = 1 = 1, . . . , n

ij

j=1

n

X (ogni compito è assegnato a un solo lavoratore) (2.2)

∀j

x = 1 = 1, . . . , m

ij

i=1 (2.3)

∈ {0, ∀i

x 1} = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m

ij Sia il costo di assegnare il lavoratore al compito Vogliamo minimizzare il costo

c i j.

Funzione obiettivo ij

totale: n m

X X (2.4)

min c x

ij ij

i=1 j=1

Questo modello rappresenta la versione generale del uno dei problemi classici della

problema di assegnamento,

ricerca operativa.

2.2 Ottimizzazione combinatoria

Molti problemi pratici appartengono alla classe dell’ottimizzazione combinatoria, ovvero situazioni in cui occorre

scegliere una combinazione ottimale tra un numero molto elevato di possibilità discrete [16]. Esempi classici:

• il problema dell’assegnamento (assegnare lavoratori a compiti minimizzando i costi)

• il problema del commesso viaggiatore (trovare il percorso minimo che visita tutte le città una sola volta)

• i problemi di copertura o selezione (scegliere un sottoinsieme ottimale di elementi con determinate pro-

prietà)

Questi problemi, spesso classificati come NP-hard, hanno raramente algoritmi efficienti che garantiscano sempre

la soluzione ottima, per colpa delle istanze dalle grandi dimensioni. Di conseguenza, si ricorre a metodi appros-

simativi o euristici capaci di trovare risoluzioni accettabili localmente, ignorando così il problema del tempo di

risoluzione. 7

2.3 Teoria dei grafi

La teoria dei grafi fornisce il linguaggio matematico per descrivere insiemi di entità e le loro relazioni [2].

Un grafo è definito come una coppia dove:

G = (V, E)

• è l’insieme dei (o nodi)

V vertici

• è l’insieme degli cioè coppie di nodi che indicano una relazione o connessione

E archi,

A seconda del tipo di relazione che si vuole rappresentare, si distinguono:

• gli archi non hanno verso. La relazione tra due nodi è simmetrica.

Grafi non orientati: Esempio: una

rete di amicizie, in cui il legame “A è amico di B” implica automaticamente “B è amico di A”.

• gli archi hanno una direzione, rappresentata da una freccia. La relazione

Grafi orientati (o digrafi):

non è necessariamente simmetrica. Esempio: un grafo che rappresenta email inviate, in cui l’arco va dal

mittente al destinatario.

Gli archi possono inoltre avere un (es. distanza, costo, intensità di relazione) o essere non pesati.

peso

Concetti fondamentali:

• numero di archi incidenti; nei grafi orientati si distingue in grado entrante e grado

Grado di un nodo:

uscente

• sequenza di nodi collegati da archi, rispettandone l’orientamento se il grafo è diretto

Cammino:

• cammino chiuso che parte e arriva nello stesso nodo senza ripetere archi

Ciclo:

• sottografi in cui ogni nodo è raggiungibile dagli altri; nei grafi orientati si parla

Componenti connesse:

più precisamente di forte connettività

Queste nozioni permettono di modellare una grande varietà di fenomeni reali, dalle reti sociali alle catene

logistiche, e costituiscono la base per gli indicatori strutturali di rete (densità, centralità, diametro).

2.4 Reti sociali e modelli di diffusione

Un’applicazione particolare della teoria dei grafi è attraverso lo studio delle reti sociali, dove i nodi rappresentano

persone e gli archi rappresentano relazioni (amicizia, collaborazione, comunicazione) [5]. Le reti sociali sono

oggetto di modelli che cercano di descrivere la for