La rilevazione della tolleranza al rischio del investitore: da Markowitz alla realtà - tesi

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Rendimenti :

Matrice varianze - covarianze

In base a un teorema dimostrato per la prima volta da Black (1972),

qualsiasi coppia di portafogli della frontiera efficiente è sufficiente per

2 Dati tratti da www.msci.com e espressi in termini percentuali.

determinare l'intera frontiera. Per qualsiasi coppia di portafogli della

frontiera:

x= x , … , x e y= y , … , y

{ } { } , tutti i portafoglio dell’envelope sono una

1 N 1 N

combinazione convessa di x e y. Questo significa che data una qualsiasi

costante a, il portafoglio

a x 1−a y

( )

+

1 1

a x 1−a y

( )

+

1 1

. ⌉

( )

ax 1−a y

+ =⌈ .

.

a x 1−a y

( )

+

N N

è un portafoglio sulla frontiera.

Possiamo notare che vi sono su alcuni assets delle posizioni corte

(valori negativi), risolviamo questo problema introducendo l'indice di

3

Sharpe e tramite il risolutore di Excel:

Utilizzando la tabella dati e facendo variare il peso del portafoglio x

otteniamo i dati della frontiera efficiente: Frontiera

efficiente

3 Misura l'affidabilità di un investimento finanziario in termini del maggiore

rendimento coniugato con il minore rischio. Il metodo confronta

l'investimento analizzato con quello tradizionale a rischio minimo (RF). Più

l'indice di Sharpe è elevato, maggiore è il valore aggiunto del gestore

finanziario.

L’EQUILIBRIO NEL MERCATO DEI CAPITALI

2. In questo capitolo analizzerò i principali modelli utilizzati per

determinare i prezzi d’equilibrio dei titoli sul mercato dei capitali. Inizierò

presentando il modello sicuramente più diffuso e studiato: il Capital Asset

Pricing Model. Tale modello dimostra l’esistenza di un unico portafoglio

ottimale per tutti gli investitori e di una relazione lineare tra rendimento

atteso di un titolo ed una misura del rischio, chiamata beta.

Un modello di equilibrio alternativo proposto è l’Arbitrage Pricing

Theory, il quale ipotizza che il processo decisionale degli investitori sia

finalizzato a sfruttare le possibilità di arbitraggio offerte dal mercato e sia

basato su modelli fattoriali.

2.1 CAPM (Capital Asset Pricing Model)

Il Capital Asset Pricing Model, noto con l’acronimo CAPM, è

considerato il modello padre della moderna teoria della finanza. Grazie

all’approfondimento di Sharpe e Lintner, messo a punto a metà degli anni

’60 e alla teoria della selezione di portafoglio introdotta di Markowitz nel

1952, siamo oggi in grado di indagare ampiamente le relazioni tra rischio e

rendimento di un portafoglio finanziario.

Il CAPM definisce non solo una teoria di portafoglio ma anche il

modo con cui, attraverso le scelte di portafoglio, si formano i prezzi di

equilibrio delle attività finanziarie.

Al fine di sviluppare un modello che andasse oltre la Portfolio

Theory elaborata da Markowitz si sono dovute porre delle ipotesi più

restrittive. Il CAPM si fonda su sette ipotesi (tre delle quali in comune con

la teoria di portafoglio di Markowitz):

gli investitori sono avversi al rischio e ricercano la massimizzazione

1) dell’utilità attesa;

gli investitori selezionano i portafogli in base al rendimento atteso e alla

2) varianza attesa dei portafogli stessi;

l’orizzonte temporale è uniperiodale;

3) l’orizzonte temporale è unico per tutti gli investitori;

4) non vi sono restrizioni nel dare o nel prendere a prestito al tasso privo di

5) rischio (risk free rate);

gli investitori hanno aspettative omogenee sui valori attesi, le varianze e le

6) covarianze dei rendimenti dei titoli;

non vi sono imposte né altre imperfezioni di mercato, quali i costi di

7) transazione.

Il punto di partenza del modello in analisi è rappresentato dalle

possibili scelte di un investitore che voglia detenere un portafoglio

composta da un’attività priva di rischio ed un generico portafoglio rischioso.

Il rendimento atteso dal suo investimento sarà:

R p ) [3.1]

E R 1−x R xE

( ) =( ) + ¿

p f

Mentre la sua volatilità è pari a:

√ 2 [3.2]

2 2 2

σ 1−x σ σ 1−x xCov , R

( ) ( )

= +x +2 [R ]

p f r f m

Dove con R indichiamo il rendimento privo di rischio, risk free,

f

mentre con R, il rendimento dell’attività rischiosa. Essendo Rf un

rendimento certo, tanto la sua varianza, quanto la sua covarianza con

portafoglio rischioso sono nulle, quindi il rischio di un portafoglio è

proporzionale alla quota allocata nel portafoglio rischioso:

σ σ

=x

p r

[3.3]

Risolvendo il sistema in due equazioni, dato dalla [3.1] e dalla [3.2],

soddisfatte da tutti portafogli così composti, otteniamo la seguente

soluzione: E R

( ) −R

r f

E R

( ) =R + ∗σ

p f P

σ r

[3.4]

La quale dimostra come al crescere del peso del portafoglio

rischioso, e quindi di σ , aumenti in modo lineare anche il rendimento atteso

p

dal portafoglio. Al variare della composizione del portafoglio rischioso, la

[3.4] individua un fascio di rette sul piano rischio-rendimento aventi origine

nel medesimo punto sull’asse delle ordinate ed intersecanti la frontiera

efficiente in almeno un punto.

Tra tutte le possibili rette, una sola, quella tangente alla frontiera

efficiente, individua le combinazioni tra le due attività detenute nel

portafoglio preferibili a tutte le altre possibili, giacché tutti gli altri

portafogli, a parità di volatilità, offrono un rendimento inferiore. Tale retta

rappresenta la nuova frontiera efficiente per il nostro investitore, ed è nota

come Capital Market Line, mentre il punto M individua il portafoglio di

tangenza.

Nel modello CAPM si assume l’omogeneità e correttezza delle

aspettative degli investitori. Ne consegue che, se tutti gli investitori

assegnano le medesime probabilità ai rendimenti attesi, il portafoglio di

tangenza è unico e preferito per tutti gli investitori, indipendentemente dalle

specifiche preferenze individuali (principio della separazione). Il portafoglio

M è detto portafoglio di mercato in quanto, in equilibrio, sarà in grado di

comprendere tutte le possibili attività rischiose in proporzione tale da

riflettere il loro valore di mercato. Se l’investitore può indebitarsi al tasso

privo di rischio, le scelte che egli effettua rispetto alla distribuzione della

sua ricchezza tra le attività rischiose possono essere scisse da quelle relative

all’allocazione della ricchezza tra le attività prive di rischio e quelle

rischiose.

Graficamente la linea dei portafogli ottenibili combinando attività

rischiose e attività non rischiose è individuata dalla seguente retta:

La possibilità che la retta prosegua oltre il punto I è legata all’ipotesi

secondo la quale gli investitori possono indebitarsi al tasso rf. In tal caso

l’investitore potrebbe indebitarsi al tasso rf ed investire somme addizionali

nel portafoglio I.

Il coefficiente angolare della suddetta retta è interpretabile come

misura della remunerazione (compenso) per unità di rischio offerta dal

portafoglio P.

Dunque una maggior o minor propensione al rischio dell’investitore

determina solamente il peso del portafoglio di tangenza nella composizione

del sul portafoglio, che si traduce nel punto in cui egli si colloca sulla

Capital Market Line:

Prima del punto M parte del portafoglio è allocato nell’attività risk free e

• parte nel portafoglio di mercato M (punto D);

Dopo il punto M le risorse a disposizione dell’investitore sono allocate

• interamente in M. in più l’investitore si è indebitato per investire ulteriori

risorse nel portafoglio di mercato, sfruttando la così detta leva finanziaria

(punto E).

Esempio:

Il Sig. Bianchi è un investitore alla ricerca di un investimento in cui

riporre i propri risparmi; egli dispone complessivamente di 1000 € e decide

di far fruttare il proprio denaro investendo sia in attività prive di rischio sia

in attività rischiose.

Il sig. Bianchi crede che una ripartizione di 250 € in titoli non

rischiosi e 750 € in titoli rischiosi possa essere appropriata.

Ipotizzando un tasso risk free del 3% e un rendimento dell’attività

rischiosa del 10% l’investitore potrà aspettarsi di ricevere:

E (R ) = 0.25 * 0.03 + 0.75 * 0.10 = 0.0825 =8.25%

p

La varianza dell’attività non rischiosa è, come sappiamo, nulla; lo

scarto quadratico medio del titolo rischioso è maggiore di zero, pari al 16%.

In totale la varianza del portafoglio risulta:

p2 2 2

σ = (X * σ ) = (0.75 * 0.16) = 0.0144

r

Nel caso in cui l’attività rischiosa scelta dal Sig. Bianchi fosse il

portafoglio M, l’investimento si posizionerebbe sul segmento della linea del

mercato dei capitali compreso tra il tasso risk – free e il punto di tangenza

alla frontiera efficiente:

L’investitore avrebbe potuto raggiungere un profilo

rischio/rendimento ancora più alto?

Non dimentichiamo che per ipotesi il Sig. Bianchi può sia prestare sia

indebitarsi al tasso privo di rischio. Questo vuol dire che, qualora lo

desiderasse, potrebbe prendere a prestito altri 100 €, per esempio, e

investirli nell’attività rischiosa.

In tal caso quale sarebbe il suo rendimento atteso?

Poiché il Sig. Bianchi investe 1100 € al tasso del 10% ma deve

restituire 100 € al tasso del 3%, potrà attendersi questo rendimento medio:

E (R ) = 1.10 * 0.10 + (- 0.10) * 0.03 = 10.70 %

p

In tal modo l’investitore aumenta il rendimento ottenibile limitandosi

a investire la propria dotazione iniziale interamente nell’attività rischiosa.

Tuttavia prendere a prestito risorse determina un incremento della

rischiosità del portafoglio:

p2 2

σ = (1.10 * 0.16) = 0.031

Dalla Capital Market Line alla Security Market Line

2.1.1 La CML rappresenta in equilibrio la miglior combinazione ottenibile

tra rendimento atteso e rischio; essa consente di individuare il livello di

rendimento che dovrebbe essere associato a ciascun livello di rischio. Invero

il coefficiente angolare della CML consente di stimare di quanto deve

aumentare il rendimento atteso affinché l’investitore sia disposto ad

assumersi un’unità di rischio in più. Si dice anche che esso misura il prezzo

che l’investitor