Fenomeni di rottura di film sottili in fluidi viscoelastici

A. B.

Figura 2.4: Due esempi di frame in cui sono state effettuate le misure del diametro del foro (A) e

dell’altezza della bolla (B)

4) Una volta ottenuti i dati questi sono stati salvati su un foglio excel, sul quale sono stati poi

trasformati da pixel a mm. Per il foro la calibrazione è avvenuta per ogni video conoscendo le

dimensioni dell’ago usato attraverso la misura al SEM, mentre per i gonfiaggi la calibrazione è stata

possibile grazie al diametro interno misurato con un calibro.

5) I dati dei fogli excel sono stati poi riportati in un database in matlab (in cui sono presenti anche

spessori, tensioni superficiali, densità, viscosità estensionali, moduli elastici, raggi iniziali di

apertura) dal quale possono essere chiamati da uno script da me scritto di matlab su cui vengono

analizzati i dati ottenendo: la velocità media iniziale dell’apertura con una regressione lineare sui

primi punti (Vs) e le velocità attese del modello. 38

Figura 3.4: Ecco un esempio di grafico in cui sono riportati i punti sperimentali (x), la velocità

__ __

), La velocità attesa dall’equazione (3.1)

ottenuta interpolando i punti sperimentali Vs ( ( ) e

0

0 __

la velocità attesa dal modello ( ).

Insieme ai dati delle aperture sono stati analizzati anche i dati dei gonfiaggi per valutare la storia

deformativa e calcolare la deformazione utile ai fini della risposta elastica.

0 etc…) sono stati riportati in fogli excell, uno per ogni fluido

,

6) Infine tutti i risultati (Vs, , ,

0

usato.

4.3 Modellazione

Il modello usato è quello di un disco piano di spessore pari a quello del film oggetto

dell’esperimento considerando un fluido altamente viscoso ed altamente elastico. Si ipotizza quindi

che la ritrazione sia governata da una forza data dalla tensione superficiale e una data dal richiamo

elastico del film. 39

Figura 4.4: In figura è possibile osservare la rappresentazione delle fasi sperimentalmente osservate

in laboratorio. Si parte da un film piano assumibile a un disco, successivamente il disco viene

gonfiato e deformato in una calotta, infine il film deformato viene bucato con un ago e se ne osserva

la ritrazione.

Nelle immagini successive invece sarà visualizzata proprio la differenza di velocità di apertura in

funzione dei tempi di gonfiaggio (Fig.5.4).

A.

̇ 3

= 250 /

̇ 3

= 120 /

B.

̇ 3

= 1500 /

̇ 3

= 750 /

C.

̇ 3

= 2800 /

̇ 3

= 2300 / 40

D.

̇ 3

= 800 /

̇ 3

= 400 /

Qui sono stati presi alcuni casi esemplari in cui fosse visibile l’influenza della velocità

Figura 5.4: ̇

di gonfiaggio sulla velocità di apertura. Le presenti ai lati delle immagini sono delle medie

ottenute dal tempo totale di gonfiaggio e dal volume finale raggiunto dalla bolla. Boger (A),

PA0.6% + Syrup (B), 50mM Dicloflena + 100mM Cypcl (C), CTAB e NaSal (D)

4.3.1 Modello

Per valutare il contributo della storia deformativa sulla velocità di apertura del foro è stato

necessario introdurre una deformazione elastica recuperabile a lungo termine che si genera

durante la deformazione del film ma tende a dissiparsi nel tempo secondo una legge esponenziale in

cui compare il tempo di rilassamento caratteristico . Ciò comporta che se il tempo di gonfiaggio

della bolla è simile al tempo di rilassamento del fluido questa risulta essere caricata elasticamente

durante l’apertura. Il rapporto /

risulta essere il numero di Deborah per il processo di

durante l’apertura del film. Ovviamente se la

gonfiaggio il quale modula il contributo elastico

rottura della bolla viene indotta dopo un sufficiente lasso di tempo dopo il gonfiaggio allora si

osserverà un’apertura viscosa del foro perché il fluido ha avuto il tempo di rilassarsi parzialmente o

totalmente.

Per il modello teorico sono state fatte delle assunzioni per semplificare i calcoli:

(i) Lo spessore del film è uniforme

(ii) La rottura della bolla presenta una simmetria assiale

della curvatura è trascurabile in quanto il raggio di apertura del

(iii) L’effetto foro è di molto

inferiore al raggio della bolla

temperatura dell’intero sistema è costante. Inoltre entro certi limiti una descrizione

(iv) La

lineare del fenomeno di apertura è più che sufficiente a descrivere il caso reale. 41



Queste ipotesi sono molto accurate nel caso in cui t 0s, ecco una rappresentazione della

distribuzione delle forze agenti sul film (Fig. 6.4):

Figura 6.4: Ecco una riproduzione virtuale delle geometrie del film e della distribuzione delle forze

all’atto dell’apertura dove 1, 2 e 3 sono rispettivamente le forze di tensione superficiale, forza

viscosa e forza elastica.

1) Rappresenta il contributo della tensione superficiale

= 4 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1.4)

0

Rappresenta il contributo viscoso che si oppone all’apertura

2) 0

= −4 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2.4)

0

Dove è la velocità iniziale di ritrazione del film nei primi istanti di tempo.

3) Rappresenta il contributo elastico

= 4 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(3.4)

Dove Rb è il raggio della bolla poco prima della rottura ed è la deformazione elastica

recuperabile a lungo termine. ,

In questi contributi compaiono diversi parametri quali: lo spessore del film il raggio iniziale di

, ,

apertura , la tensione superficiale la viscosità il modulo elastico di estensionale E, il raggio

0 . Tutti questi sono ottenuti tramite misure sperimentali in laboratorio e l’unica

della bolla 0

variabile che si vuole calcolare è proprio la .

0

Per trovare la è necessario combinare le equazioni (1.4), (2.4) e (3.4) di modo da ottenere 42

l’equilibrio trascurando il contributo dell’inerzia, infatti un’ipotesi del modello è che la velocità di

apertura del film nei primi istanti sia costante e che quindi vi sia equilibrio tra le forze in gioco.

Ecco l’equazione di equilibrio: = + + = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4.4)

0

Da cui sostituendo (1.4), (2.4) e (3.4) e risolvendo rispetto a e adimensionalizzando il risultato si

ottiene: 0

= 1 + ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5.4)

0

Dove è la velocità di Duprè (3.1), è un fattore geometrico adimensionale (6.4) e un numero

0

elastocapillare che compara la forza elastica con quella di superficie (7.4).

= ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(6.4)

0

= ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(7.4)

Il modello riesce a predire molto bene la velocità di apertura e quindi R(t) molto bene nel primo

millisecondo.

4.3.1 Calcolo della deformazione

è stato necessario integrare le deformazioni stimate dalle misure dell’altezza

Per il calcolo della

della bolla nel tempo durante il gonfiaggio moltiplicandole per l’esponenziale:

1

= exp(− ⁄ ) = exp (− )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(8.4)

Dove è a deformazione istantanea totale:

) )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(9.4)

= ln( − ln(

+1 43

sperimentali a disposizione per il gonfiaggio discreto l’integrale diviene

Essendo il numero di punti

una somma: −

) )

= ∑ [ln( − ln( ] ∗ exp (− )⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(10.4)

E +1

è l’arco che descrive la bolla all’istante

Dove mentre è l’istante finale.

Se non avessimo avuto solo dei punti ma delle funzioni continue avremmo avuto:

= ∫ () ∗ exp (− ) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(11.4)

E

0

Andando a plottare poi le e le nel tempo quello che si nota è che la deformazione utile alla

rottura risulta essere solo quella subita entro un tempo pari a circa 2 volte il tempo di rilassamento

(Fig.5.4).

2

Figura 7.4: Questi sono gli andamenti di e nel tempo per il caso Vin_119, il fluido usato è il

“50mM Dicloflena + 100mM Cypcl” in soluzione acquosa, ha un = 0.16 e si nota come solo

l’ultima parte della storia deformativa, in un intervallo di circa 2 , risulta essere efficace per il

contributo elastico. 44

5.0 Risultati e discussioni (CAP.5)

5.1 Risultati

Per ogni fluido sono stati scelti alcuni casi principe simili tra loro per spessore, raggio della bolla e

raggio iniziale di modo da poter osservare l’andamento della velocità di apertura in funzione della

deformazione utile subita dal film .

Nelle tabelle successive (Tabella 1-2-3-4.5) sono riassunti tutti i dati relativi ai soli casi principe

scelti per ogni fluido. Nelle tabelle (A) sono presenti le caratteristiche geometriche della bolla, in

(B) le proprietà reologiche che ci interessano e la velocità di apertura sperimentale mentre in (C) le

velocità attese dal modello e i parametri del modello stesso.

0

μm

0.03 N/m 46 µm 9 mm

390

A ⁡[/] ⁡[ ∗ ] ⁡[]

N° Esperimento

122 14.7 0.31 390

125 21.3 0.22 390

127 8.21 0.53 390

B ⁡[/] ⁡[/]

N° Esperimento 0 0

122 60.9 60.9 4.3*10^-5 141 0.028

125 83.9 84.5 4.1*10^-5 141 0.031

127 37.6 37.7 4.8*10^-5 129 0.013

C

Tabella 1.5: Tabella dei dati riassuntivi per i casi principe scelti per il 50mM Dicloflenac + 100mM

CPyCl.

0

μm

0.06 N/m 13.4 µm 9 mm

180

A ⁡[/] ⁡[ &lo