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Esempio 1 2 3 0 1 0
=( =(
) )
4 5 6 2 −1 1
1 3 3
+ =( )
6 4 7
Per il prodotto invece = ( )
,
Esempio 1 2 3
=( )
4 5 6
2 4 6
2 = ( )
8 10 12
L’elemento neutro della somma è la matrice nulla. L’elemento neutro del prodotto è 1.
Se l’opposto di una matrice è
= ( ), − = (− )
1 2 −1 −2
Esempio se allora
= ( ) = ( )
3 −1 −3 1
4 3 −4 −3
Altra osservazione importante che ci permette di distinguere i vettori dai numeri (scalari)
è la seguente. Dati due numeri reali x e y è sempre possibile stabilire quale è il più grande,
ovvero > < =
Si dice che questa è una relazione d’ordine totale (cioè è completa).
Questa proprietà non è verificata per i vettori. Ad esempio
(−1,2) (0,3)
<
Perché -1<0 e 2<3, ma se, ad esempio, abbiamo
(−1,2) (0,1)
non sono in grado di stabilire nulla. Quindi, con i vettori, non abbiamo una relazione totale
2 3
in R , R ,…
In generale se ( ) ( )
̅ = , … , ̅
= , … ,
1 1
• ̅ ≥ ̅ ≥ ∀ = 1, … ,
• {1, }
̅ > ̅ > ∀ = 1, … , > ∈ … ,
• ̅ ≫ ̅ > ∀ = 1, … ,
Quindi
Mettendo insieme addizione e moltiplicazione abbiamo la definizione di combinazione
lineare n
Def. Siano k vettori di R e k numeri reali, il vettore
̅ , ̅ , … , ̅ , , … , ̅ +
1 2 1 2 1 1
è una combinazione lineare dei vettori con coefficienti (o
̅ + ⋯ + ̅ ̅ , ̅ , … , ̅
2 2 1 2
pesi , , … ,
1 2
Oss. E’ un vettore perché e
̅ ∈ ̅ + ̅ ∈
In generale una combinazione lineare è detta combinazione
̅ + ̅ + ⋯ + ̅
1 1 2 2
convessa se
[0,1]
∈ ∀ = 1, … , ∑ = 1
=1
Oss. Se ho solo 2 vettori, una combinazione lineare è totalmente convessa
cioè ovvero mi serve un solo coefficiente.
+ = 1 = 1 −
1 2 1 2
Questo mi permette di scrivere l’equazione del segmento per 2 punti.
Questo ci consente di dare una definizione molto importante ovvero quella di insieme
convesso. n
Manca da definire il prodotto scalare che è la terza operazione su R che consente di
definire lo spazio euclideo. Il prodotto scalare è importante perché ci permette di calcolare
la lunghezza di un vettore, la distanza fra due vettori e quindi di definire quando
n
sottoinsiemi di R sono aperti, chiusi, limitati, compatti…
Quindi } . →
→ → ℎ …
Una qualsiasi funzione che soddisfa queste 4 proprietà è definita distanza.
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