Schemi e formulario di Statistica

Campionamento con ripetizione e senza ripetizione

Unità statistiche tutte stessa probabilità di essere incluse nel campione (con ripetizione) o di essere estratte (senza ripetizione).

La popolazione, mano a mano che si estraggono le unità, rimane sempre N.

N° di campioni ordinati: N! / (N-n)!

N° di campioni non ordinati: (N+n-1)! / (n!(n-1)!)

Campionamento casuale stratificato

Popolazione divisa in un certo numero di sottopopolazioni, dette strati;

Al loro interno contengono delle unità che sono simili tra loro per aspetto a una o più caratteristiche definite dal ricercatore;

Da ogni strato si estrae un campione casuale semplice;

Si ottengono tanti piccoli campioni quanti sono gli strati e ogni piccolo campione può avere una

1. 2 O PIU' STADI

La popolazione è divisa in più livelli gerarchizzati casualmente ordinati

In un campionamento a due stadi si hanno:

• Le unità del primo stadio (primarie);
• Le unità del secondo stadio (secondarie)

Al primo stadio si estrae, secondo una tecnica, un campione senza ripetizione

Queste unità sono dei grappoli, però qui non si prendono tutte le unità, ma si estraggono solo alcune, che vengono dette unità di secondo stadio

CON PROBABILITA' VARIABILI

CAMPIONAMENTO

Si immagini di realizzare un'indagine sul reddito percepito dalle famiglie in un quartiere, dove sono presenti poche famiglie facoltose e molte famiglie meno abbienti.

Ogni famiglia avrà una probabilità di estrazione diversa e proporzionale alla grandezza del suo appartamento

CAMPIONAMENTO NON PROBABILISTICI

VANTAGGI

• Meno costosi, più rapidi da applicare;

SVANTAGGI

• I risultati ottenuti non sono estendibili a

Selezione

campione avviene a criteri di tutta la popolazione (non si può fare comodo o di praticità; inferenza)-Non è necessaria la conoscenza dell'intera popolazione

A SCELTA RAGIONATA

CAMPIONAMENTO

La scelta delle unità statistiche è affidata al ricercatore, ed è operata con obiettivi di rappresentatività di particolari aspetti della popolazione

PER QUOTE

1. Si suddivide la pop. in gruppi omogenei, secondo una data caratteristica (come nel campionamento stratificato);
2. Dentro ogni singolo gruppo si stabilisce il n° di caratteristiche da intervistare (quote);
3. Il ricercatore sceglie, nei limiti delle quote, le unità da intervistare

A VALANGA

CAMPIONAMENTO

Molto utile per lo studio di popolazioni clandestine come immigrati irregolari, membri di sette religiose, evasori fiscali e tossicodipendenti;

Si individuano le unità statistiche a partire dalle informazioni che altri soggetti possono fornire;

Il campionamento parte da

Un piccolo numero di individui i quali oltre che come membri del campione, sono utilizzati per individuare altri soggetti appartenenti allo stesso gruppo;

Ogni volta che si intervista un individuo si raccolgono informazioni per contattare e raggiungere altri individui TRAMITE TESTIMONI PRIVILEGIATI;

CAMPIONAMENTO

Si ricorre a persone che, per la loro particolare attività, sono a conoscenza di particolari informazioni su specifici fenomeni;

Il loro coinvolgimento risulta indispensabile ai fini dello studio del fenomeno;

CAMPIONAMENTO

NON PROBABILISTICO PROBABILISTICO

PROBABILITÀ COSTANTE A SCELTA RAGIONATA PROBABILITÀ VARIABILI

Le unità statistiche della popolazione hanno tutte la stessa probabilità di essere estratte dal ricercatore o dal rilevatore;

Le unità della popolazione hanno probabilità diverse di essere estratte;

SEMPLICI CON RIPETIZIONI

PER QUOTE

Ogni unità una volta;

La popolazione è divisa in gruppi.

estratta viene reinserita

Dentro ogni gruppo si nella popolazione

scelgono le unità

rispettando una determinata quota

SEMPLICI SENZA RIPETIZIONI

Ogni unità una volta estratta non viene

A VALANGA reinserita nella

Le unità statistiche sono

individuate a partire dalle

informazioni fornite da

soggetti simili

STRATIFICATO

La pop. è divisa in strati

omogenei. Da ogni strato

si estrae un certo numero

TRAMITE TESTIMONI di unità

PRIVILEGIATI

Persone particolarmente

informate sul fenomeno

oggetto di studio

A GRAPPOLO

Si estrae un numero di

grappoli da una pop. e

tutte le unità del grappolo

entrano nel campione

SISTEMATICO

Le unità vengono estratte

scorrendo una lista e

selezionando una unità

ogni dato intervallo

A PIÙ STADI

Si fanno più estrazioni

consecutive. Ad ogni

estrazione si crea la base

per l'estrazione

successiva

ERRORI DI CAMPIONAMENTO ED ERRORI EXTRACAMPIONARI

STIMA: valore assunto da una grandezza che approssima il valore vero

(riferito alla popolazione) che non è dato conoscere. È sempre affetta di errore di campionamento o errore campionario

ERRORE DI CAMPIONAMENTO: differenza fra ciò che risulta dall'analisi del campione (stima) e il vero valore della popolazione che non è dato conoscere, cioè il parametro

Se il campione è probabilistico si può calcolare una stima dell'errore di campionamento, pur rimanendo nel parametro incognito, altrimenti se è non probabilistico no

ERRORI NON CAMPIONARI: tutti gli errori che si possono fare durante un'indagine, si manifestano anche nelle realizzazioni e, sono determinati dal fatto che nella pratica c'è sempre uno scostamento fra ciò che è una previsione nella progettazione dell'indagine e ciò che viene effettivamente fatto

DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE E MEDIA CAMPIONARIA

STATISTICA CAMPIONARIA: dato un campione casuale di osservazioni X , X ,... , X

essa è una funzione delle osservazioni campionarie^{1 2 n t( )X , X ,... , X1 2 n}

STATISTICA MEDIA CAMPIONARIA: se t = formula media aritmetica, allora:

• n1 ∑=X́ X in i=1

Dipende dall'osservazione campionaria t

DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA STATISTICA: dato che una statistica assume valori diversi a seconda del valore estratto una statistica campionaria ha una sua distribuzione di probabilità, detta distribuzione campionaria della statistica

INFERENZA DA "ESPERIMENTO STATISTICO"

INFERENZA STATISTICA: volta ad affrontare il cosiddetto problema inverso in cui la struttura della popolazione è incognita e induttivamente si cerca di utilizzare un insieme limitato di informazioni derivanti da un campione casuale estratto dalla popolazione INFERENZA DA ESPERIMENTO STATISTICO DA POP. FINITE

Pop. virtuali, icui gli elementi sono generati dall'espstatistico La pop. è formata da un insieme finito E' stato pensato ed etichettabile per le scienze di

unità sperimentali in cui statistichele pop. possono essere ipotetiche e infinite Le pop. di interesse sociale ed economico, in generale, sono reali e finite Ambiti dell'inferenza STIMA DEI VERIFICAPARAMETR DI IPOTESI I STIMA PUNTUALE STIMA PERINTERVALLI STIMATORI E LE LORO PROPRIETA' PARAMETRO STIMA STIMATORE Incognito della pop. (o statistica campionaria) μ Media pop. Esempion1 Σ=X́ X in i=1 Media campionaria STIMATORE: variabile causale con la propria distribuzione campionaria  θ PROPRIETA': 1. CORRETTEZZA corretto E(T) = θ distorto D(T) = E(T) - θ 2. EFFFICIENZA errore di stima T -errore quadratico medio MSE(T) = E[2](T -θ) T T più efficiente di se e solo se 1 2 ¿ ¿ T T MSE( < MSE(1 2 | | ∀ ϵ> ∀-θ <ϵ)=10: lim P( T θ 3. CONSISTENZA se nn→ ∞ STIMA PUNTUALE: quando un parametro della pop. È stato stimato con valore  singolo MEDIA CAMPIONARIA = STIMATORE PUNTUALE

DELLA MEDIA DELLA μ (μ) POPOLAZIONE (μ) = μ STIMATORE CORRETTO PERCHÉ È X̄ PROPORZIONE CAMPIONARIA = STIMATORE PUNTUALE DELLA PROPORZIONE (x̄)(π) x + ¿ +...+n x x2 n (x̄) = π È STIMATORE CORRETTO PERCHÉ È Enx̄ = ¿ VARIANZA CAMPIONARIA CORRETTA VARIANZA CAMPIONARIA ≠ n n1 1∑ ∑Var(x) =2 2 2= ( - ) ( -x̄)S x x̄ xi in-1 ni=1 i=1

STIMA PER INTERVALLO: si stimano 2 estremi entro i quali tutti i valori sono possibili stime del parametro, secondo un certo grado di possibilità

INTERVALLO DI CONFIDENZA: intervallo di valori – determinato sulla base di un campione – che si ritiene contenere il vero parametro (incognito della popolazione)con un prefissato grado di fiducia<μ<q )=1-αP(q (prob. Che l’intervallo contenga il parametro incognito della1 2pop.)

USO DELLA TAVOLA DELLA