Oscillazioni

misura la rapidità con cui avvengono le oscillazioni nel MAS, al crescere della

k aumenta la pulsazione, al crescere della massa la w diminuisce.

sostituisco nell’argomento del coseno t = t + 2pigreco / w e vedo

= PERIODO:

che dopo un tempo 2pigreco / w la funzione assume lo stesso valore allora

→ →

concludo che T = 2pigreco / w w = 2 * pigreco * f T = 2pigr * rad (m / k)

= AMPIEZZA: Xm (arbitraria, dipende da velocità e posizione iniziale, ininfluente nel

→

calcolo di periodo e pulsazione, aumenta spazio aumenta F di richiamo)

= FASE: indica la posizione iniziale dell'oscillazione

= Considerazioni energetiche

● APPLICAZIONI OSCILLATORE

ARMONICO

1) BILANCIA DI TORSIONE

- Legge di HOOKE: tz = - k * O

→

- formule duali

2) PENDOLO SEMPLICE

La componente tangenziale costituisce la forza di richiamo: F = - m g sin O

→ →

Ma per piccoli angoli F = - m g O F = - m g (x / L) k = ( m * g ) / L

→

T = 2pigreco * rad (m / k) T = 2pigreco * rad (L / g)

3) PENDOLO FISICO

- Corpo rigido incernierato in modo che possa ruotare attorno ad un asse

→

- t = F * braccio t = - m g d sinO ma per piccoli angoli mom torc t = - m g d O

I = …

→ → →

k = mgd T = 2pigreco * rad (I / mgd)

- Il pendolo semplice è un caso particolare del pendolo fisico

La lunghezza ridotta stabilisce un’equivalenza (con riferimento al

- periodo) tra un

pendolo semplice ed uno fisico

Sia O il punto sulla la retta passante per l’asse di rotazione ed il centro di massa,

-

distante L da P, O è chiamato centro di oscillazione e gode di 2 proprietà

1) Se facciamo oscillare il pendolo rispetto all’asse parallelo al precedente

→

ma passante per O il periodo non cambia

2) Forze impulsive parallele applicate al centro di oscillazione NON hanno

effetti sull’asse di rotazione (centro di percussione, baseball / tennis)

( Il centro di percussione è il luogo in cui traslazione e rotazione della racchetta, al momento dell'impatto, sono di uguale

intensità ma di direzione opposta in un determinato punto perciò si annullano e nessuna sensazione di impatto viene

trasmessa alla mano )

● MOTO ARMONICO SMORZATO

= L’azione di forze dissipative su un sistema oscillante determinano uno

smorzamento delle oscillazioni

d’attrito Fattr =

= * Consideriamo una forza - b * v ( v = dx / dt )

b (> 0) è il coefficiente di smorzamento che dipende sia dal fluido che

dalle caratteristiche della pala

* Riordinando i termini otteniamo la EDO per lo smorzato

* Risolviamo la EDO e otteniamo:

con - t = costante temporale di smorzamento, definita

come il tempo necessario affinché l’ampiezza

si riduca di un fattore 1/e

w’ =

- pulsazione dello smorzato

La pulsazione nello smorzato è minore perciò avremo un periodo maggiore (l’attrito

rallenta il moto e allunga il tempo di oscillazione)

→

= 1) se b<<1 e quindi k/m > (b/2m)^2 MOTO SOTTOSMORZATO: la risposta

oscilla attorno al suo stato di equilibrio fino a quando non si avvicina lentamente a

zero, oscillazioni non superano asintoticamente e^-(tb/2m)

w’ reale non esiste

→ →

2) se k/m < (b/2m)^2 MOTO SOVRASMORZATO: per b

grande lo smorzamento impedisce del tutto le oscillazioni

→

3) se k/m = (b/2m)^2 SMORZAMENTO CRITICO: rappresenta il limite tra

comportamento non oscillatorio e quello oscillatorio, il valore minimo dove non

abbiamo oscillazioni, il moto è non periodico come nel sovra-smorzato ma si

avvicina alla posizione di equilibrio più rapidamente dell’oscillatore sovra-smorzato

● OSCILLAZIONI FORZATE

= Un oscillatore smorzato finisce per arrestarsi quando tutta la sua energia

meccanica si è dissipata, a meno che non vi sia una forza esterna che fornisca

altra energia. Si parla in questo caso di oscillazioni forzate, ovvero oscillazioni

prodotte e mantenute da una forza esterna.

Consideriamo il caso di una semplice forza esterna Fext = Fm * cos (w’’t)

= *

* Applicando il 2 principio della

dinamica otteniamo la EDO

La soluzione della EDO è formata da due termini:

* 1) SOLUZIONE TRANSITORIA

→ dipende dalle condizioni iniziali e si annulla dopo un certo tempo

2) SOLUZIONE STAZIONARIA

dovuta alla forza esterna e persiste dopo che la transitoria si è annullata