Oscillazioni lineari

Oscillatore

(v. _appunti affrontati + commenti)

• Oscillatore armonico libero

Si definisce oscillatore libero (unidimensionale) un qualunque sistema fisico descritto dalla seguente eq_n del moto:

(1) _{ẍ + ω0²x = 0} con x variabile che descrive il sistema, ω₀ frequenza caratteristica del sistema.

Esempi

• Nella molla orizzontale

x è la distanza della massa m dalla posizione di equilibrio della molla; k è la costante elastica;

Si trova ^{ω₀ = √_k/m}

• Circuito LC

x in questo caso è la carica sull'armatura del condensatore, e si vede ^{ω₀ = 1/√_LC}

Si cercano soluzioni della forma x(t) = x₀e^αt

L'equazione caratteristica (sostituendo x(t) nell'equazione (1))

x₀α²e^αt + ω₀²x₀e^αt = 0 -> α² + ω₀² = 0 -> α = ±iω₀.

Quindi la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni indipendenti:

x(t) = A₁e^iω₀t + A₂e^-iω₀t

A₁ e A₂ si determinano a part_ire da dati

Oscillatore armonico libero

Si definisce oscillatore libero (unidimensionale) un qualunque sistema fisico descritto dalla seguente eqn del moto:

(1) _x + ω₀²x = 0

ESEMPI

• Molla Orizzontale

x è la distanza della massa m dalla posizione di equilibrio della molla; k è la costante elastica;

Si trova ω₀ = √(k/m)

• Circuito LC

x in questo caso è la carica sull’armatura del condensatore, e si vede ω₀ = 1/√(LC)

Si cercano soluzioni della forma x(t) = x₀e^αt

L’equazione caratteristica (sostituendo x(t) nell’equazione (1))

è x₀α²e^αt + ω₀²x₀e^αt = 0 → α² + ω₀² = 0 → α = ±iω

Quindi la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni indipendenti:

x(t) = A₁e^iω₀t + A₂e^-iω₀t

A₁ e A₂ si determinano a partire dai dati

Forme alternative della soluzione

Avendo posto

• B₁ = A₁ + iA₂
• B₂ = i(A₁ - A₁)

x(t) = B₁ cos ωt + B₂ sin ωt

x(t) = C sin (ωt + φ)

C = √(B₁² + B₂²)

φ = atan (B₂ / B₁)

Energia dell'oscillatore libero

Perc

é

T = 1/2 mω₁²C² cos² (ωt + φ)

L'energia potenziale immagazzinata nella molla è invece

U = 1/2 k C² sin² (ωt + φ) = 1/2 mω₁² C² sin² (ωt + φ)

L'energia totale è, per un oscillatore meccanico libero e unidimensionale

E = 1/2 mω₁²C² = 1/2 k C²

Dipende solo dall'ampiezza delle oscillazioni, e non dalla massa

È interessante come il valore medio di T sia uguale al valore medio di U:

<T> = <U> = 1/4 mω₁²C²

Oscillatore smorzato

Qualunque sistema che ha come equazione del moto la seguente:

_η e ω₀ sono parametri caratteristici del sistema; il termine è dissipativo.

Esempio

Molla immersa in un fluido viscoso, se η è il coeff. d'attrito viscoso, e

x_oe^α₂t

Segno di :

• η² - ω₀² > 0
• η > ω₀ - α
• x(t)=S₁e^α₁t + S₂ e^α₂t

Smarimento molto forte;

x → 0 per t → ∞ (x è l'ampiezza dell'oscillazione)

Non c'è oscillazione

η² - ω₀² < 0 → γ complesso

x(t)=s₁e^(α₁t) + s₂e^(α₂t) = s₁e^(-ηt+iξt) + s₂e^(-ηt-iξt)

= e^(-ηt)(s₁e^(iξt) + s₂e^(-iξt))

= e^(-ηt)((s₁ + s₂)cosξt + i(s₁ - s₂)sinξt)

= e^(-ηt)(A₁cosξt + A₂sinξt)

A₁ = s₁ + s₂

A₂ = i(s₁ - s₂)

→ η < ω₀

x(t) = e^(-ηt)Bcos(√(ω₀² - η²)t + ϕ)

B = √(A₁² + A₂²)

ϕ = atan( A₂/A₁ )

x

l'ampiezza dell'oscillazione

è una sinusoide modulata

da un exp negativo:

è oscillatore armonico

in ambiente

SMORZAMENTO DEBOLE

η = ω₀ d₁ = d₂ = η

x(t): s₁ e^-ηt + s₂ t e^-ηt

//variazione delle costanti

x(t) = (s₁ + s₂ t) e^-ηt

retta exp

SMORZAMENTO CRITICO: Situazione in cui la configurazione del sistema, tende più

rapidamente alla configurazione di equilibrio.

Energia in un oscillatore smorzato

(anni)

L'energia accumulata a causa dello smorzamento diminuisce nel tempo; in particolare si trova che, meditando su un

periodo, 1/<E> de/<E> = -2 η → la perdita di energia in un

periodo è

ΔE/<E> = ∫₀^T-2η fdt → ΔE/<E> = -2η T= -2Π Q (1/ω₀)

Si definisce fattore di merito o di qualità, il numero Q

Q = 2Π E₀/|ΔE| energia iniziale

energia dissipata in un periodo

In questo caso da oscillatore smorzato

Q = ω₀/2η

Oscillatore forzato

L'equazione è del tipo

F(t) è una forza che agisce sul sistema; essa dipende solo dal tempo. Poiché per il teorema sulla base (o l'ortogonalità) di Fourier, qualunque funzione sotto ipotesi di moto arbitrario può essere vista come somma, eventualmente infinita, di funzioni sinusoidali, e poiché l'equazione (2) è lineare, possiamo limitare allo studio di un termine forzante ai tipo sinusoidale.

Sia quindi F(t) = F₀ cos ωt ; si ha

F = Re(F̂) con F̂ = F₀ e^iωt

Quindi ẍ + 2ηẋ + ω₀²x = F₀e^iωt;

La soluzione generale è somma di due termini: - la soluzione generale dell'omogenea associata (= transiente) - del transiente do 6 costanti arbitrarie - una soluzione particolare dell'equazione completa.

La A è stata trattata nel paragrafo precedente; il suo contributo, nella soluzione generale diminuirà esponenzialmente col passare del tempo, quando la soluzione particolare, che non si attenua, diventa dominante; dopo il transiente si dice che il sistema è a regime.

È ragionevole supporre che la soluzione generale sia del tipo x(t) = x₀ e^iωt , con ω = frequenza del termine forzante (è ragionevole perché, siccome stiamo cercando la sol. particolare, cioè quella dovuta alla forz, ci si può aspettare che le freq. siano uguali)

Sostituendo si ha

-ω²x₀e^iωt + 2ηiωx₀e^iωt + ω₀²x₀e^iωt = F₀ e^iωt

=> x₀ (ω₀² - ω² - i2ηω) = F₀

=> È determinate <=> x₀ = F₀

(ω₀² - ω²) - i2ηω

si vede che x₀ è complesso; ω₀ è combo

allos X(t): A e^iφe^iωt = A e^{i(ωt + φ)} —> sfasata rispetto a F

=> La soluzione harniónica è sfasata rispetto al termine fontante

Ricavo modulo e costante di fase di x₀:

|x₀| = F₀

√((ω₀² - ω²)² + 4η² ω²)

ϕ = arctan ( -2ηω/(ω₀² - ω² ))

↓ Ampiezza delle oscillazioni alla soluzione harniónica, a regime.

- ω << ω₀ |x₀| ≈ F₀ = costante, ϕ ≈ 0

ω₀²

↔ ω ≫ ω₀ |x| ≈ a meno che F₀ non sia molto grande ➔ l'ho oscillazoni molto piu

veloc di ω₀ (che è un falore num)

bisogna applicare molta Frage.