Oscillazioni lineari

Oscillazioni

• Oscillatore armonico libero

Si definisce oscillatore libero (unidimensionale) un generico sistema fisico descritto dalla seguente equazione del moto:

₍₁₎ x.. + ω₀² x = 0

con x variabile che descrive il sistema, ω₀ frequenza caratteristica del sistema

Esempi

• Molla Orizzontale

x è lo distanza della massa m dallo equilibrio della molla, k è la costante elastica;

Si trova ω₀ = √^k/_m

• Circuito LC

x in questo caso è la carica sull'armatura del condensatore, e si vede ω₀ = 1/√^LC

Si cercano soluzioni della forma x(t) = x₀ e^αt

L'equazione caratteristica (sostituendo x(t) nell'equazione (1))

₍₂₎ x₀ α² e^αt + ω₀² x₀ e^αt = 0

α² + ω₀² = 0 → α = ±iω₀

Quindi la soluzione quindi è una combinazione lineare delle due soluzioni indipendenti:

x(t) = A₁ e^iω + A₂ e^-iω

A₁ e A₂ si determinano a partir dai dati iniziali.

Forme alternative delle soluzioni:

... sfruttando la formula di Eulero ...

e^iθ = cosθ + i sinθ ...

... arriva a ...

X(t) = B₁ cos ωt + B₂ sin ωt

avendo posto

• B₁ = A₁ + iA₂
• B₂ = i (A₂ - A₁)

X(t) = C sin (ωt + φ)

C = √(B₁² + B₂²)

φ = atan (B₂ / B₁)

Energia dell'oscillatore libero

Poiché

• ẋ = ω₁ C cos (ωt + φ)

l'energia cinetica vale (cos\theta della molle)

T = 1/2 m ω₁² C² cos²(ωt + φ)

L'energia potenziale immagazzinata nella molle è invece

U = 1/2 k C² sin² (ωt + φ) = 1/2 m ω₁² C² sin² (ωt + φ)

k = ... ω₁ m

L'energia totale è, per un oscillatore meccanico libero e unidimensionale

E = 1/2 m ω₁² C² = 1/2 k C²

Deriva solo dall'ampiezza delle oscillazioni, e non dalla massa

È interessante come il ... medio di T sia uguale al ... medio di U ...

<T> = <U> = 1/4 m ω₁² C²

...

Oscillatori forzati

L'equazione è del tipo

ẍ + 2ηẋ + ω₀²x = F(t)

F(t) è una forza che agisce sul sistema; essa dipende solo del tempo. Poiché per il teorema sulla serie (o l'integrale) di Fourier, qualunque funzione sotto ipotesi molto ampie può essere vista come somma, eventualmente infinita, di funzioni sinusoidali e poiché l'equazione (2) è lineare, possiamo limitare allo studio di un termine forzante di tipo sinusoidale.

Sia dunque F(t) = F₀ cos ωt; si ha F = Re{F̂}

F̂ = F₀ e^jωt

Quindi

ẍ + 2ηẋ + ω₀²x = F₀ e^jωt

La soluzione generale è somma di due termini:

• la soluzione generale dell'omogenea associata (=: transiente) col termine a 6 costanti arbitrarie
• una soluzione particolare dell'equazione completa.

La 4 è stata trattata nel paragrafo precedente; il suo contributo alla soluzione generale diminuisce esponenzialmente col passare del tempo, quando la soluzione particolare, che non si attenua, diventa dominante; dopo il transiente si dice che il sistema è a regime.

È ragionevole supporre che la soluzione generale sia del tipo x(t) = x₀ e^jωt, con ω = frequenza del termine forzante. (È ragionevole perché, siccome stiamo cercando la sol. particolare, cof quella dovuta alla forzà, a ν può aspettare che le freq. siano uguali)