Maggiorante e minorante, funzioni e grafici

Dualità

equazioni analoghe invertendo il segno della disuguaglianza

m maggiorante di A

def. ∀a∈A a≤m

es. A={0,1} 2 è maggiorante di A

1 non è un maggiorante

m minorante di A

def. ∀a∈A a≥m

(o è minorante)

A={1/n | n∈ℕ , n>0 }

n>0 ⟹ 1/n>0

0 è un minorante

se n≥k allora 1/n ≤ 1/k

Differenza tra 0 e 1:

∃A ⊆ A

n≥1 ⟹ 1/n ≤ 1/1

1 è un maggiorante

def. A⊆ℝ , m è (il) massimo di A

⇔

• m è maggiorante di A
• m ∈ A

dimostrare che il massimo è unico:

Teorema: se A ammette MAX allora il MAX è unico.

Dim.: se, per assurdo, esistessero 2 elementi entrambi MAX di A, allora m1, m2 m2≥m1,

per la proprietà antisimmetrica m1=m2.

Se, per assurdo, ∃m ≠ m2 MAX di A allora:

m1≥m2

Antisimm |> m1 = m2

def. A⊆ℝ , m è minimo di A

⇔

• m è minorante di A
• m ∈ A

definizione duale

Teorema duale

dualità

se A ammette min, allora il min è unico.

dim. duale Se per assurdo ∃ m₁ ≠ m₂ min di A,

allora m₁ ≤ m₂ m₂ ≤ m₁ ⇒ (antisymm.) m₁ = m₂

def.

A ⊆ R si dice limitato superiormente

• ⇔ ∃ m maggiorante di A (∃ m: ∀ a ∈ A : a ≤ m)

def.

A ⊆ R si dice limitato inferiormente

• ⇔ ∃ m minorante di A (∃ m: ∀ a ∈ A : a ≥ m)

def.

A ⊆ R si dice limitato ⇔ A è lim. sup e inf.

• ⇔ ∃ m₁, m₂ risp. minorante e maggiorante di A

Proprietà equivalente

A ⊆ R si dice limitato sup ⇔ ∃ m: A ⊆ (-∞, m₁]

A ⊆ R si dice limitato inf ⇔ ∃ m: A ⊆ [m₂, +∞)

A ⊆ R si dice limitato (inf e sup) ⇔

∃ m₁: A ⊆ [m₁, +∞) ⇔ ∃ m₂: A ⊆ (-∞, m₁]

⇔ A ⊆ (m₂, +∞) ∩ (-∞, m₁) = [m₁, m₂]

A

a

esiste ed è unico

a2=b

def.

GRAFICI

intervallo

grafico di f

f: I → R

f: I → I

f.^-1: I → I

PROF FUNZIONE INVERSA

∀x ∈ I : f.^-1(f(x)) = x

∀y ∈ S : f (f.^-1(y)) = y

stesse unità di misura asse x e y

SISTEMA MONOMETRICO

corrispondenza biunivoca

(si scambiano le coordinate)

SCAMBIO DI COORDINATE

simmetria rispetto alla bisettrice 1° quadrante e 3°

x = y

f(x) + Tf(x + T)

TRASLAZIONI

1. Tf(x) T > 1 CONTRAZIONI
2. f(Tx) T < 1 DILATAZIONI

1. f(x) = x² g(x) = 2x²

f(x) = x³ g(x) = 2x³

f(x) = x² g(x) = -2x² h(x) = -2x² + 1

rientriamo in

2. f(x) = x²

g(x) = f(2x) = (2x)² = 4x²

h(x) = f(^x/₂) = (^x/₂)² = x²/₄

f(x) = sinx g(x) = f(2x) = sin(2x)

y₁ = sin2x

h(x) = sin ^x/₂