Insieme dei numeri reali

X)

a y

o

, la

di

3) modello retta

matematico reale

Coé

completezza R è

- la

↳> che

la si

completezza è proprietà caratterizzate e

che

dice ordinato completo

è numerico

campo e

un

della

importante completezza e

conseguenza :

= x2 quadrata

2 radice

esistenza

XER e

: =

definisce V2

quadrata

radice indica

aritmetica

si si

e

soluzione

l'unica x2

positiva di .

2

= di

definisce la

analogamente si radice m-esima

ExeR di

X 30] l'unica soluzione positiva

ar come

+= :

X fra

scrivo

a e

=

MEN +

OSSERVAZIONE : -re]

=

dell'equazione Ve

soluzioni x2=2 in

insieme , algebriche

radici

SOTUINSIEMI R

DI IR PROPRIETÀ

Si Intervallo SODDISFA SEGUENTI

dice Se Le

DEFINIZIONE :

: (x24x4x2= xCI)

Yx1 X I X 117

11

, 1

,

x1X2 X1X2

Gra re]

A

ESEMp è

Non un Intervallo

: = ve

- , r i

due punti

>

- sono -

1 A

15

-E e

Infatti :

ExeR x23 2]

[0

B 0=

: :

- = j

,

È INTERVALLO

UN

[0 u[3 4]

1] è

c Non intervallo

un

= 8

- .

.

eb IR ared

DAM Si distinguono

e : :

a

INTERVALLI UMITATI

- Exer by

b]

[a alx = chiuso

= intervallo D

:

, [xeR a(x(b)

(a b) APERTO

INTERVALLO

= : -

, Exer a b3

b]

(a intervallo chuso a destra

= -

:

, a

Exer b3

[a b) sinistra

Intervallo chiuso

av a

: : 3

, ·

a

INTERVALLI ILLIMITAT

- Exer a)

0)

[a :

+ chiuso

intervallo

= >

, -

·

a

Eve al

Ca l Aperto

:

+ intervallo

: -

o

, Or

EXER

b)

( b)

X INTERVALLO

8 CHIUSO

- : -

=

, EXER

( b) X(b) APERTO

INTERVALLO

a =

- : -

,

eb estremi dell'Intervallo

a sono è

è

X estremo

All'intervallo se e

Interno vi Appartiene un

Non

Detto

o

PIÙ IN GENERALE SI HA :

A C È SUPERIORMENTE

Che LIMITATO

DEFINIZIONE SE

DICO

DATO

: => FaeA

MER aIM

: , R

es

n

A detto

M maggiorante

e

anche lo esistono

M Maggiorante 1

è 100

M M C M

se , sono me

+ -

+

+

, , ..., ... infiniti

-

A CR È

DEFINIZIONE INFERIORMENTE

Che LIMITATO SE

DICO

DATO

: -meR fa A

= -

m

a

: , R

· &

umm

A

m detto

è minorante

In

A CE È

UMITATO SUPERIORMENTE INFERIOR

E

Se

DEFINIZIONE Si DICE

DATO

: MENTE LIMITATO

A CR ILLIMITATO

SUPERIORMENTE

DEFINIZIONE SI

DATO

: SE

DICE :

JeA

MER :s M

, -R

wr I I

& O

M

A M a

&

A CR ILLIMITATO

INFERIORMENTE

DEFINIZIONE SI

DATO SE

DICE :

: Jet

MER : m

, R

a ina in A È

ACI SI SUPERIORMENTE

DEFINIZIONE ILLIMITATO

DATO DICE Se E

: INFERIORMENTE ILLIMITATO

illimitato

N quindi

è superiormente illimitato

ESEMPIO è

e

: I me

VER PROPRIETÀ

my DI

r

: 2

, i i

o ARCHIMEDE

ESEMPI A1

2][0 1)

1

Al 0

=

· - - I

-

, 3

, 2 m

m -

limitato

As infatti maggiorante

-

Vaets

superiormente 1

è è

1

a anche

Ilo 3

2 !

sono , .

inferiormente limitato

As FmeR 7

è :

Ar

ovvero e m

,

infatti basta prendere Assi

-2 a -2 e

un

se =

, I m(m 1(m)

As <

prendere m-1

m-2 posso

se = -

, ,

2x =x(1}

[0 1)

Aa e 0

· D

:

=

= . 02

perché

limitato maggiorante

Az è

1

è superiormente un

Ar inferiormente perché

limitato è minorante

0

è un

A A

Mer è M

Massimo Scrivo

DEFINIZIONE max

il

: e

di = MIMA

È

MER A SCRIVO

DEFINIZIONE MINIMO Di E M

: IL =

A CIR

DEFINIZIONE SUPERIORMENTE ESTREMO

LIMITATO

DATO DEFINISCO

: A

SUPERIORE :

DI Fate

min

Supt MM

:=