Funzioni e proprietà

FUNZIONI

Def: f: D⊆ℝ × ℝ → ℝ → ℝ : f(x,y)=z(x,y) → f(x,y)=zgraf(f)={(x,y,z)| (x,y) ∈ D , z=f(x,y) } ⊂ ℝ³

Esempio : ℝ × ℝ → ℝ(x,y) → x + y

z↑|||||___ _____ ____ > xyz = x²+y² se x=0 piano y

Tornano in f: D⊆ℝ→ℝ

Come posso cogliere alcune proprietà di f dal suo graficof: ℝ → ℝgraf(f) = {(x,y) / x∈ℝ , y=f(x)}

1. Se disegno una curva nel piano, quando è grafico di una funzione?

   Il primo grafico è funz. , il secondo no: non è definitadal x₀, corrisponde più di una immagine

   Una curva è grafico di una funzione se ∀x_{_}/lasse x → la curva ha una sola intersezione

2. Posso vedere se f è iniettiva? SìSe ∃ x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)⇔ ∀ dati x y = f(x)| ︙=0 ︙ \right0 cioè l'intervallo in cui è def. l'inversa

   3) tanh: ℝ → ℝ

   • x = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

   tanh : ℝ → (-1, 1) è invertibile

   Per trovare l'inversa si risolvey = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

   -1 < y < 1

   Facendo il conto otteniamo x = 1/2 ln (1+y) / (1-y)

   Settanh : (-1, 1) → ℝ

   x = 1/2 ln (1+y) / (1-y)

   1. { tanh (settan (x)) = x x∈ (-1, 1)
   2. settan (tanh(x)) = x ∀x∈ℝ