Formulario + teoremi (completo) di geometria

GEOMETRIA

(formule)

MATRICI

(A·B)_ij = Aⁱ⋅B^j (Prodotto righe per colonne)

Proprietà

1. I_m^m A = A (I_m matrice identica)
2. ABC = (AB)C = A(BC) (P. ASSOCIATIVA)
3. A(B+C) = AB + AC (P. DIST. A SINISTRA)
4. (A+B)C = AC + BC (P. DIST. A DESTRA)

Trasposta

(tA)_ij = A_ji

t(AC) = tC tA

rgA = rg tA

t(A + B) = tA + tB

Sistemi lineari omogenei e dimensioni

d_o dim_ES di S:AX=0 è uguale al numero di parametri liberi.

Rango (= numero di pivot (k))

• A ∈ M_m,m(K) ⇒ 0 ≤ rg(A) ≤ min(m,m)
• rg(A) = dim(span(A⁽¹⁾,..., A^(m))) = dim(span(Aⁱ,..., A^m))
• rg(A) = k ⇒ m - dim E_S
• rg(AC) ≤ min(rg(A), rg(C))

Traslazione

1. tω∘τ - tω∘τμ = tω ∘ tμ
2. tω = idv
3. tμ ∘ tω = idv = tω ∘ tμ ⇒ (tω)^-1 = tμ

Sistemi lineari: non omogenee

S: AX=B compatibile ⇒ Σ_ξ è sottospazio aff'ne congiuntura

Σ_ξ0 (sp. sol. sist. omogeneo).

Rouche-Capelli

S: AX=B è compatibile ⇔ rg(A) = rg(A|B)

Se è compatibile: dim Σ_ξ = n-rg(A)

rg(A) = m ⇒ è compatibile

Matrice inversa

Solo ∈ M_m(I_K) (Gauss per calcolarla)

Invertibile $ ∃ A^-1 t.c. AA^-1 = I_m

⇔ rgA = m (massimo)

I_m^-1 = I_m

(A^-1)^-1 = A

Insieme delle matrici invertibili

A, B ∈ Gl_m(I_K) ⇒ AB ∈ Gl_m(I_K)

Matrice del cambiamento di base

P= M_B^C (idv) ∈ Gl_m(I_K)

• P= (b₁ b₂ ... b_m)
• rg P = m

M_B^D (idv) = M_C^D (idv) ⋅ M_B^C (idv)

Teorema delle dimensione

dim V = dim Ker g + rg g

dim Ker g + dim Im g

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare

V, W KL spazi vettorialeβ = (b₁, ..., bₘ) base per Vw₁, ..., wₘ vettori di W (non per forza base)

⇒ ∃! g: V ➝ W lineare t.c. g(bⱼ) = wⱼ Vⱼ = 1, ..., m

Associa matrice ad un'applicazione lineare

Y = A X = L_A(X)

A = M^C_B(g) = (a_ij)(b₁, ..., b_m base per V, c₁, ..., c_m base per W)g(b_j) in base c

⇒ rg f = rg A = rg M^C_B(g) = rg L_A

M^C_B(g o β) = M^C_B(g) · M^B_B(g)

M^C'_B'(g) = M^C'_C(id_w) · M^C_B(g) · M^B_B'(id_v) (: X)

Matrici simili (per applicazioni lineari)

A, B ∈ Mₙ(ℝ) simili se ∃ P ∈ GLₙ(ℝ) t.c.:

B = P⁻¹ A P ⇒ det A = det B

Teorema Iniettività Suriettività

g iniettiva ⟺ dim Ker g = 0 (⟺ Ker g = {0_V})

g suriettiva ⟺ rg g = dim V (immagine = codominio)

g biettiva ⟺ dim W = dim V (dim V = dim Ker g + rg g) (isomorfismo lineare/biettiva)

Lemma

M_B(β) simmetrica ⇒ autovalori di M_B(β) tutti vel.

Corollario

β ∈ End(V) autaggiunto e dim V ∞ ⇒ β ha almeno un autovalore.

Teorema

β ∈ End(V) autaggiunto ⇒ autovettori relati v ed autovalori distinti sono ortogonali.

Teorema spettrale

V sp. vettoriale Euclideo con dim L∞, β ∈ End(V) autaggiunto ⇒ ∃ base ortonormale per v de di agonalizza β.

Proiezioni

λ_i=⟨U, b_i⟩ di

Matrice ortogonale

Matrice di cambiamento di base ortonomale P ∈ M_m(R) è ortogonale se P^TP=I_m (P^-1 =P^T)(det P=±1)

Matrice ortogonale speciale

det P=1

Gruppo ortogonale di ordine m

O(m)={P ∈ M_m(R)|P^TP=I} (tutte le ortogonali)

Gruppo ortogonale speciale di ordine m

SO(m)={P ∈ O(m)|detP=1}