Formulario Statistica economica

X

X 2∗n

¿ +1

(¿ )

2∗n 4

¿

(¿ )+

4 2

¿

¿ X

X 3∗n

¿ +1

(¿ )

Q = 3∗n 4

1 ¿

(¿ )+

4 2

¿

¿

2) Quartile per distribuzioni di frequenze:

a) Si calcolano le frequenze relative cumulate F i

b) Si va a vedere il valore del quartile cui corrisponde la posizione F=0,25 per il Q il

1,

valore F=0,50 per Q = Med , il valore F=0,75 per Q .

2 3

3) Quartile per distribuzioni in classi:

a) Anzitutto si fa la rappresentazione tabellare

b) Si calcolano le frequenze relative cumulate F i

c) Date le frequenze relative cumulate, si va a vedere quale classe contiene F = 0,25 per Q ,

1

F = 0,50 per Q = Med, F = 0,75 per Q

2 3

d) Dopodiché si utilizza la formula già vista per la Mediana:

( )

−L ∗(0 )

L ,25 – F

superiore inferiore i−1

Q = L +

1 inf ( )

F – F

i i−1

( )

−L ∗(0 )

L ,50−F

superiore inferiore i−1

Q = Med = L +

2 inf ( −F )

F i i−1

7 ( )

−L ∗(0,75−F )

L superiore inferiore i−1

Q = L +

3 inf ( −F )

F i i−1

Si possono eventualmente utilizzare le frequenze assolute cumulate:

n

( )

−L ∗( −C )

L superiore inferiore i−1

4

Q = L +

1 inf (frequenza

n ass. classe mediana)

i 2∗n

( )

− ∗( −C )

L L

superiore inferiore i−1

4

Q = Med = L +

2 inf (frequenza

n ass. classe mediana)

i 3∗n

( )

−L ∗( −C )

L superiore inferiore i−1

4

Q = L +

3 inf (frequenza

n ass. classe mediana)

i

8 INDICI DI VARIABILITÀ

a) Gli indici di variabilità hanno il fine di fornire informazioni circa la dispersione in relazione

al valore medio.

b) Le caratteristiche comuni sono:

Deve annullarsi quando tutti i termini della distribuzione sono uguali.

o Deve assumere valori crescenti quando aumenta la distanza tra le unità anche

o rispetto al centro.

Deve avere l’attitudine ad assumere caratteri diversi.

o Devianza

Indici di dispersione Varianza

Scostamento quadratico medio (Dev. standard)

Assoluta Scostamento semplice medio

Campo di variazione o Range

Indici di disuguaglianza Differenza interquartile

Differenza semplice media

c) Indici di variabilità Coefficiente di variazione

Relativa Rapporto di concentrazione

1) DEVIANZA: n

∑ 2

( −x́)

x

Per valori unitari: Dev(x) =

a) i

i=1 k

∑ 2

( −x́) ∗n

x

Per distribuzioni di frequenze: Dev(x) =

b) i i

i=1

k

∑ 2

(VC − ) ∗n

x́

Per distribuzioni in classi: Dev(x) =

c) i i

i=1

Le caratteristiche specifiche sono:

Aumenta all’aumentare del numero di dati.

o Ha come unità di misura il quadrato della variabile (ed è pertanto scomoda).

o Sono confrontabili solo devianze che derivano dallo stesso numero di dati.

o 2

σ

2) VARIANZA ( ): n

∑ 2

(x − )

x́

2 i

Per valori unitari: Var(x) o =

σ (x)

Dev

a) i=1

=

n n

9 k

∑ 2

(x − ) ∗n

x́

2 i i

Per distribuzioni di frequenze: Var(x) o = (

σ Dev x)

b) i=1

=

n n

k

∑ 2

(VC −x́) ∗n

2 i i

Per distribuzioni in classi: Var(x) o =

σ (

Dev x)

c) i=1

=

n n

La caratteristica specifica è:

Ha come unità di misura il quadrato della variabile (ed è pertanto scomoda).

o σ

3) SCOSTAMENTO QUADRATICO MEDIO o DEVIAZIONE STANDARD ( ):

√ n

∑ 2

(x − )

x́

σ

Per valori unitari: SQM(x) o = i

a) √ i=1

(

Var x)= n √ k

∑ 2

( − ) ∗n

x x́

σ

Per distribuzioni di frequenze: SQM(x) o = i i

b) √ i=1

(x)=

Var n

√ k

∑ 2

(VC − ∗n

x́)

σ

Per distribuzioni in classi: SQM(x) o = i i

c) √ i=1

(

Var x)= n

4) SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO DALLA MEDIA (in valore assoluto):

n

∑ ¿ − ∨¿

x x́

i

Per valori unitari: SSM(x) =

a) i=1 n

¿ k

∑ | |

−x́ ∗n

x

i i

Per distribuzioni di frequenze: SSM(x) =

b) i=1 n

k

∑ | |

− ∗n

VC x́

i i

Per distribuzioni in classi: SSM(x) =

c) i=1 n

10 SSM(x) =

5) SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO DALLA MEDIANA (in valore assoluto):

n

∑ ¿ −Med ∨¿

x i

i=1 n

¿ ´ ¿ x́∨¿

¿ x∨¿

6) COEFFICIENTE DI VARIAZIONE: V = * 100 = * 100 (in percentuale)

σ

SQM ¿

¿

7) CAMPO DI VARIAZIONE O RANGE: W = X - X (troppo sensibile ai valori estremi)

max min

8) DIFFERENZA INTERQUARTILE: Q = Q – Q (non tiene conto di cosa accade negli estremi)

3 1 Q 3 –Q 1

9) COEFFICIENTE DI VARIAZIONE INTERQUARTILE: CVQ = * 100 (in percentuale)

Q 3+Q 1

10) INDICE DI ASIMMETRIA: AS = Q + Q – 2 MEDIANA

1 1 3

Q 1+Q 3−2 MEDIANA

11) INDICE ASIMMETRIA RELATIVO: ASN =

1N Q3−Q1

n n

∑ ∑ ¿ −x ∨¿

x

i j

∆

12) DIFFERENZA SEMPLICE MEDIA: = (media aritmetica

i=1 j=1

R 2

n

¿

degli scarti tra tutti i termini presi in valore assoluto)

n i =f

Ricordare che quindi laddove è presente il

i

n

rapporto considerato è possibile anche sostituire a esso

la frequenza relativa!

11 INDICI DI FORMA

Gli indici di forma consentono di dare appunto una forma a un insieme di dati.

o Due sono i parametri utilizzati in questo caso:

o

1) INDICE DI ASIMMETRIA (SKEWNESS): ossia quanto una distribuzione è simmetrica

> 0 coda a destra (asimmetrica a destra)

x = 0 simmetrica

i

n < 0 coda a sinistra (asimmetrica a sinistra)

∑ 3

(¿− x́)

Skewness = i=1 3

n∗σ

¿

2) CURTOSI: ossia quanto una distribuzione è appiattita o appuntita

> 3 distribuzione poco appuntita

x = 3 distribuzione normale

i

n < 3 distribuzione molto appuntita

∑ 4

(¿− x́)

Curtosi = i=1 n∗4

¿ CONCENTRAZIONE

Ha lo scopo di misurare come un carattere si distribuisce su una serie di unità statistiche

Come primo step si calcola l’intensità del carattere (T), data dalla somma delle intensità di

ciascuna unità statistica: 1,6 2,5 1,8 2,2 3 3,8

T = 1,6 + 2,5 + 1,8 + 2,2 + 3 + 3,8 = 14,09

n = 6 (numero unità statistiche)

si considera il caso di distribuzioni per unità

occorre ordinare i dati dal più piccolo al più grande, raggruppandoli in una tabella

−q

x S p p

S

i =

i i i i i

i

q =

i

i T

(intensità

(porzion n

cumulate

e (situazione reale)

)

intensità) (situazione di

12 equidistribuzione

)

1 1,6 1,6 1/6 = 0,167 1,6/14,9 = 0,107 0,06

2 1,8 3,4 2/6 = 0,33 3,4/14,9 = 0,228 0,105

3 2,2 5,6 3/6 = 0,5 5,6/14,9 = 0,376 0,124

4 2,5 8,1 4/6 = 0,67 8,1/14,9 = 0,544 0,123

5 3 11,1 5/6 = 0,88 11,1/14,9 = 0,745 0,088

6 3,8 14,9 6/6 = 1 14,9/14,9 = 1 0

14,9 n−1

∑ −q

p i i

i=1

R =

1) RAPPORTO (O INDICE) DI CONCENTRAZIONE: => 0

n−1

∑ p i

i=1

≤R≤ 1

Si tratta di un metodo numerico.

La concentrazione varia da 0 a 1 (0 indica una perfetta equidistribuzione, 1 indica la massima

concentrazione). Sulla base di questa affermazione si può commentare il risultato asserendo che si può

essere in presenza di una debole concentrazione per valori vicini allo 0 o una certa tendenza

all’equidistribuzione, o viceversa.

2) MEDOTO DELLE AREE (O CURVA DI LORENZ):

¿ +q

q i i−1

(¿)∗( − )

p p

i i−1

n ≤ Ra ≤1

R = => 0

∑

a ¿

i=1

1−¿

a) Si tratta di un metodo grafico basato sul rapporto tra aree. p q

b) Anzitutto realizzo un diagramma cartesiano orientato con le sull’asse delle x e

i i

sull’asse delle y. p q

c) Riporto tutti i punti e precedentemente calcolati

i i

d) Unisco i punti di cui sopra e realizzo la “spezzata” o “curva” di Lorenz, che rappresenta la realtà

ossia come il carattere è distribuito sulle nostre unità statistiche.

e) Nel grafico traccio anche la curva di equidistribuzione unendo la bisettrice del quadrato

disegnato sull’asse cartesiano. Rappresenta la situazione ideale di equidistribuzione.

f) La distanza tra la curva di Lorenz e la retta di equi-distribuzione rappresenta lo scostamento tra la

situazione ideale e quella effettiva. Tale area è definita area di concentrazione.

−q − +

x S p q p p p q q ( )

+

i q q

= =

i i i i i i i i−1 i i−1 i i−1

i S ¿

i

(porzion (intensità n ( − )

p p

T

e cumulate i i−1

intensità) ) (situazione di (situazione reale)

equidistribuzione

)

1 1,6 1,6 1/6 = 0,167 1,6/14,9 = 0,107 0,06 0,167-0= 0,167 0,107+0=0,107 0,0179

2 1,8 3,4 2/6 = 0,33 3,4/14,9 = 0,228 0,105 0,33-0,167= 0,163 0,228+0,107=0,335 0,0546

13

3 2,2 5,6 3/6 = 0,5 5,6/14,9 = 0,376 0,124 0,50-0,33= 0,17 0,376+0,228=0,604 0,1027

4 2,5 8,1 4/6 = 0,67 8,1/14,9 = 0,544 0,123 0,67-0,50= 0,17 0,544+0,376=0,92 0,1564

5 3 11,1 5/6 = 0,83 11,1/14,9 = 0,745 0,088 0,83-0,67 = 0,16 0,745+0,544=1,289 0,2062

6 3,8 14,9 6/6 = 1 14,9/14,9 = 1 0 1-0,83= 0,17 1+0,745=1,745 0,2967

3) MEDOTO DELLE AREE, VARIANTE NEL CASO DI DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA:

+ −

n VC VC C p S q q q p p

classi =

i i i i i i i i i−1 i i−1

C

* =

i

n S

i i

n S

0 - 200 56 100 5600 56 0,13 5600 0.05 0,05 0,13

200 - 250 98 225 22050 154 0,36 27650 0,24 0,29 0,23

250-300 144 275 39600 298 0,69 67250 0,59 0,83 0,33

300-350 85 325 27625 383 0,89 94875 0,84 1,43 0,20

350-400 48 375 18000 431 1 112875 1 1,84 0,11

n=431 cumulate frazioni di C cumulate VC * n frazioni S

i i i i

n i −q

+ p

q q i i

i i−1 )

¿ totale sempre tra 0 e 1

*

4) INDICE DI ETEROGENEITA’ DI GINI:

( − )

p p

i i−1<