Formulario Statistica economica

CONCENTRAZIONE

Ha lo scopo di misurare come un carattere si distribuisce su una serie di unità statistiche

Come primo step si calcola l’intensità del carattere (T), data dalla somma delle intensità di

ciascuna unità statistica: 1,6 2,5 1,8 2,2 3 3,8

T = 1,6 + 2,5 + 1,8 + 2,2 + 3 + 3,8 = 14,09

n = 6 (numero unità statistiche)

si considera il caso di distribuzioni per unità

occorre ordinare i dati dal più piccolo al più grande, raggruppandoli in una tabella

−

i

= =

(intensità (situazione di

(porzione (situazione reale)

cumulate) equidistribuzione)

intensità)

1 1,6 1,6 1/6 = 0,167 1,6/14,9 = 0,107 0,06

2 1,8 3,4 2/6 = 0,33 3,4/14,9 = 0,228 0,105

3 2,2 5,6 3/6 = 0,5 5,6/14,9 = 0,376 0,124

4 2,5 8,1 4/6 = 0,67 8,1/14,9 = 0,544 0,123

5 3 11,1 5/6 = 0,88 11,1/14,9 = 0,745 0,088

6 3,8 14,9 6/6 = 1 14,9/14,9 = 1 0

14,9 9

{

∑ s

+

R = ≤ ≤

1) RAPPORTO (O INDICE) DI CONCENTRAZIONE: => 0

{

∑

+

Si tratta di un metodo numerico.

La concentrazione varia da 0 a 1 (0 indica una perfetta equidistribuzione, 1 indica la massima

concentrazione). Sulla base di questa affermazione si può commentare il risultato asserendo che si può

essere in presenza di una debole concentrazione per valori vicini allo 0 o una certa tendenza

all’equidistribuzione, o viceversa.

2) MEDOTO DELLE AREE (O CURVA DI LORENZ):

@

[∑ )

− ( + ∗ ( − )]

R = ≤ ≤

=> 0

a s s

a) Si tratta di un metodo grafico basato sul rapporto tra aree.

b) Anzitutto realizzo un diagramma cartesiano orientato con le sull’asse delle x e sull’asse

J J

delle y.

c) Riporto tutti i punti e precedentemente calcolati

J J

d) Unisco i punti di cui sopra e realizzo la “spezzata” o “curva” di Lorenz, che rappresenta la realtà

ossia come il carattere è distribuito sulle nostre unità statistiche.

e) Nel grafico traccio anche la curva di equidistribuzione unendo la bisettrice del quadrato

disegnato sull’asse cartesiano. Rappresenta la situazione ideale di equidistribuzione.

f) La distanza tra la curva di Lorenz e la retta di equi-distribuzione rappresenta lo scostamento tra la

situazione ideale e quella effettiva. Tale area è definita area di concentrazione.

( )

− − + +

i

=

=

s s s

∗

(porzione (intensità ( − )

s

(situazione di (situazione reale)

intensità) cumulate) equidistribuzione)

1 1,6 1,6 1/6 = 0,167 1,6/14,9 = 0,107 0,06 0,167-0= 0,167 0,107+0=0,107 0,0179

2 1,8 3,4 2/6 = 0,33 3,4/14,9 = 0,228 0,105 0,33-0,167= 0,163 0,228+0,107=0,335 0,0546

3 2,2 5,6 3/6 = 0,5 5,6/14,9 = 0,376 0,124 0,50-0,33= 0,17 0,376+0,228=0,604 0,1027

4 2,5 8,1 4/6 = 0,67 8,1/14,9 = 0,544 0,123 0,67-0,50= 0,17 0,544+0,376=0,92 0,1564

5 3 11,1 5/6 = 0,83 11,1/14,9 = 0,745 0,088 0,83-0,67 = 0,16 0,745+0,544=1,289 0,2062

6 3,8 14,9 6/6 = 1 14,9/14,9 = 1 0 1-0,83= 0,17 1+0,745=1,745 0,2967

3) MEDOTO DELLE AREE, VARIANTE NEL CASO DI DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA:

+ −

classi *

= =

s s

0 - 200 56 100 5600 56 0,13 5600 0.05 0,05 0,13

200 - 250 98 225 22050 154 0,36 27650 0,24 0,29 0,23

250-300 144 275 39600 298 0,69 67250 0,59 0,83 0,33

300-350 85 325 27625 383 0,89 94875 0,84 1,43 0,20

350-400 48 375 18000 431 1 112875 1 1,84 0,11

n=431 cumulate frazioni di C cumulate VC * n frazioni S

i i i i

n i

( + −

)

s

*

( − )

s

0,18 0,08

0,52 0,12

1,16 0,10

1,63 0,05

1,95 0

totale sempre tra 0 e 1 10

4) INDICE DI ETEROGENEITA’ DI GINI:

( )

å ( )

4a) IE = 1-

1,6 1,6/14,9= 0,11 0,01

1,8 1,8/14,9=0,12 0,01

2,2 2,2/14,9=0,14 0,02

4b) IE = (normalizzato)

2,5 2,5/14,9=0,17 0,03 k {

3 3/14,9=0,20 0,04

3,8 3,8/14,9=0,26 0,07

TOT = 14,9 TOT = 1 TOT. 0,18 11

STATISTICA BIVARIATA

CORRELAZIONE

∑ ") ")

( − ∗ ( −

1) CODEVIANZA: Cod =

xy ∑ ")∗( ")

( s s

2) COVARIANZA (CODEVIANZA MEDIA): Cov = =

xy

Note

a) Questa misura può assumere valore positivi e negativi

b) Quando il valore è 0, x e y sono indipendenti; ovviamente più il valore aumenta più cresce

l’interdipendenza reciproca di x e y.

c) Somma le unità di misura delle due variabili (es. cm + cm)

3) COEFFICIENTE (O INDICE) DI CORRELAZIONE:

∑ ")∗( ")

( { {

=

r = =

∗ >()∗() >()∗()

oppure (∗)s

∗ ∗

r =

>[ ∗ s() ]∗[ ∗ s() ]

Note ≤ ≤ )

d) Il coefficiente di correlazione può assumere valore compresi tra -1 e 1 (− in cui

il valore della formula rappresenta la forza della relazione (debole o forte) e il segno

rappresenta la direzione (positiva o negativa). La linearità rappresenta la forma.

Precisamente se

r=1esiste una relazione lineare perfetta diretta

o r=-1 avremo una relazione lineare perfetta indiretta

o r=0 assenza di relazione lineare (variabili indipendenti)

o − ≤ ≤ − , = relazione negativa da forte (-1) a debole (-0,50)

o , ≤ ≤ = relazione positiva da debole (0,50) a forte (1)

o var dip.

SCATTER PLOT

O

DIAGRAMMA

A DISPERSIONE var indip. 12

REGRESSIONE

(una variabile influenza l’altra variabile)

1) RETTA DEI MINIMI QUADRATI o METODO DEI MINIMI QUADRATI

a) In una prima fase andiamo a realizzare una rappresentazione grafica su un asse

cartesiano (x,y) in cui andiamo a rappresentare i punti x e y dati. Otterremo quindi una

i i

nube dei punti che, se ben rappresentata, ci da già l’idea sul tipo di relazione esistente

(diretta, indiretta, assenza di relazione). Un buon grafico quindi ci dice già graficamente

qual è la relazione tra le variabili x e y.

b) Dopodiché andiamo a determinare la retta (dei minimi quadrati) che meglio rappresenta

il nostro insieme di dati:

y = a + b*x

∑ " ")

(,) ( s )∗( s

+

b = =

∑ ")

() ( s

+

" "

a = – b*

∑

"

+

=

∑

"

+

=

A tale scopo realizziamo per semplicità una tabella: E

y-‘ (x − x‘) ∗ (y − y‘) (x − x‘)

y x x-̅ « « «

n n totale codevianza totale devianza

y x

Tale tabella ci consente di calcolare con semplicità il valore di b e poi, per sostituzione delle

‘

medie nella formula a = – b*̅ , anche il valore di a. Avendo trovato il valore di b e di a,

possiamo andare a calcolare la nostra retta di regressione y = a + b*x che si otterrà

sostituendo nella formula tutti i valori dati della x assegnati, oppure individuando

semplicemente due di tutti i punti attraverso la formula di cui a c).

Rappresentare la retta calcolando due punti:

c) x y

0 a

− 0

Attenzione: ricordarsi di cambiare il segno del secondo punto (se viene positivo, considero

negativo; se viene negativo lo considero positivo! 13

2) BONTA’ DELL’ADATTAMENTO E

La bontà dell’adattamento determinata attraverso il coefficiente di determinazione introduce

anche il valore della media di y.

a) A questo punto si può calcolare la devianza, ossia la distanza di tutti i valori di y, dalla

media aritmetica di y: @

∑ ")

( −

Dev(y) = Dev(tot) = @ @

∑ ∑ ")

(

° − ) (

° −

Dev(tot) = Dev(err ) + Dev(reg ) = +

ore ressione

∑ ( ")

°

() s

≤ ≤

+

= =

∑ ( ")

() s

+

oppure

∑ °

() ( s )

] ≤ ≤

+

= [1- = [ 1 - ] 0

∑ "

() ( s )

+

E E E

= 0 = 1

Precisamente quando Dev(reg)=0; quando Dev(err)=0. Per cui se ha

un valore vicino a 1 (0,6; 0,7; …) diremo che l’adattamento al modello lineare dei dati è

E

elevato, poiché appunto si minimizza l’errore. Viceversa, per valori bassi di , si dirà

che la bontà dell’adattamento al modello lineare dei dati è scarsa. I casi di 0 e 1 sono

E

ovviamente casi che nella realtà non si verificano. si può esprimere anche in termini

percentuali. E

°

b) Per calcolare occorre calcolare i valori delle e lo facciamo modificando

°

opportunamente la formula della retta y = a + b*x in = a + b*x e andando a sostituire

i y¶

per ogni x i corrispondenti valori dati e determinando di conseguenza la cercata.

«

i

°

° − ")

° − )

( - (

¸ ¸