Formulario e Teoria di Costruzione di macchine I

E E G

τ

[ ] 2(1 + v) yz

( ) 2ε = γ = τ =

1

ε = σ − v σ + σ yz yz yz

E G

z z x y

E

E : modulo elastico

• v : coefficiente di Poisson

• E

G = : modulo di elasticità tangenziale

• 2(1 + v)

π

γ = −α : scorrimento angolare

• xy 2

γ

x y

ϵ = : deformazione ingegneristica

• xy 2

Momento statico ∫ ∫

S = x dA S = y dA

y x

A A

NB: per un sistema baricentro i momenti statici sono nulli

Momento d’inerzia

Rispetto ad un’asse - flessionale e centrifugo

∫ ∫ ∫

2 2

J = y d A J = x d A J = xy dA

x y xy

A A A

∫ 2

J = r d A = J + J

p x y

A

Momenti calcolati rispetto agli assi baricentrici della sezione:

J J

J y p

x 3 3

bh h b bh ( )

2 2

h + b

Rettangolo 12

12 12

4 4 4

πD πD πD

Cerchio 64 64 32

Se invece conosco il momento d’inerzia rispetto ai suoi assi baricentri ma voglio calcolarlo rispetto

ad altri assi paralleli vale: 2 2

J = y ⋅ A + J J = x ⋅ A + J

x x′ y y′

G G

4

 

Linea Elastica - T orario 2 3

dv M d v T d v

ϑ = = − = −

dx EJ dx EJ dx

2 3

Formula di Navier - Assiale e flessione N M

σ = + y

x A J

zz

σ : sul bordo

max h

M ⋅ 6M

2 =

Rettangolo bh 2

3

bh

12

D

M ⋅ 32M

2 =

Cerchio πD 3

4

D

π 64

Formula di Jourawski - Taglio ( )

TS y ( )

2

T h

( ) ( )

2

τ y = = − y rettangolo

J b 2J 4

zz zz τ : asse centrale

max

3 T = 1,5 τ

Rettangolo m

2 A

4 T ≃ 1,33 τ

Cerchio m

3 A

Torsione DSV M ⋅ r 16M

t t

(r)

τ = → τ =

max

J πD 3

p

Deformazione rotazionale

Rdφ = γd x

ϕ = dφ /d x L M M L

∫ t t

⇒ φ = dx =

τ = G γ = Grϕ GJ GJ

p p

0

∫ → M = GϕJ

t p

A

ϕ

Dove è l’angolo unitario di torsione, ossia di quanto si torce l’asta per unità di lunghezza.

5

Molle k

Sono organi meccanici che possono subire larghe deformazioni in base ad un fattore chiamato ri-

F f

gidezza che è dato dal rapporto tra la forza e la freccia , ossia lo spostamento del punto di appli-

cazione di tale forza. dF

k = df

Tra i parametri della molla vi è il lavoro che essa è in grado di assorbire, il quale deve essere uguale

all’energia accumulata 1 1

L = F f = C φ

o

max max max max max

2 2

σ ε 2 2

σ V τ V

ij ij 0 0

∫

u = dV = =

o

2 2E 2G

V

Poiché in condizioni ideali la sezione è stimolata da uno sforzo uniforme definiamo un coefficiente

m

di utilizzo della molla L max

m = σ = σ

dove 0 max

u max

Molla assiale F EA

f = Δl = ⋅ l k = m =1

EA l

Molla di flessione

Sottoposte spesso ad una coppia di forze che producono un momento flessionale. Le più diffuse

sono le molle a balestra a pianta triangolare, massimizzazione del coefficiente di utilizzo:

m = 0,1 m ≃ 0,33

rett tri

Molla di torsione 4

Cl 32Cl C πd G

φ = = k = = m = 0,5

J G πd G φ 32l

4

p

Molla ad elica cilindrica

Immagazzina l’energia interna come una molla di flessione ma lungo l’asse dell’elica si comporta

come una molla assiale. Poiché il diametro della sezione è molto minore del diametro dell’elica e

l’angolo di inclinazione delle spire è tendenzialmente basso vale che:

M = F ⋅ R 1 12

F f = M φ

t 3 4

64FR i Gd

t

2

∩ ⟹ f = k =

16M M 2πRi

t Gd 64R i

τ = 4 3

t

φ =

max πd 3 GJ

p 6

Verifica - Glossario

R : carico massimo a rottura

• m

R : carico massimo a snervamento

• sn

σ : sforzo massimo applicabile prima che il materiale sia compromesso

• lim σ

lim

η = : coefficiente di sicurezza

• σ

amm

σ : parametro di stress equivalente

• eq

Deve sempre valere che: σ σ

lim lim

σ < σ = = η >

oppure valore

eq amm η σ

eq

Criterio Galileo - Rankine - Navier (fragili) σ = σ

eq I

Criterio Guest - Tresca (duttili)

Parte dal presupposto che il cedimento avvenga per scorrimento in corrispondenza dello sforzo tan-

genziale massimo a 45°. 2τ

{ se solo torsione

max

σ* = σ − σ =

eq I III 2 2

σ + 4τ se sforzo semplice

Criterio Von Mises (duttili)

Deriva dalla presenza di una energia specifica elastica di deformazione e dalla divisione del tensore

( )

σ = diag σ σ = σ − σ

degli sforzi in un tensore idrostatico e un tensore deviatorio sul

idr m dev idr

quale si basa il VM. 2 2 2

σ* = σ + σ + σ − σ σ − σ σ − σ σ

I II I III II III

I II III

VM 2 2

= σ + 3τ

se sforzo semplice

NB: il criterio di VM è meno cautelativo di GM poiché a pari stato di sforzo restituisce un valore

η

minore, e quindi un maggiore.

Criterio di Ros - Eichinger (duttili)

τ

Parte dalla sollecitazione delle ottadreali per arrivare alla stessa conclusione di VM

2 2 2

σ* = σ* = σ + σ + σ − σ σ − σ σ − σ σ

I II I III II III

I II III

RE VM 7

Effetto di intaglio

In presenza di riduzioni di sezione gli sforzi si concentrano andando ad aumentare, in prossimità

k

dell’intaglio, lo sforzo percepito dal materiale in funzione del coefficiente di intaglio che dipende

t

k

unicamente dalla geometria del problema e dal tipo di carico applicato (esistono diversi a seconda

t

che il carico applicato sia assiale, flessionale, ecc..): σ

max

σ = σ ⋅ k → k = >1

max max,nom t t σ

max,nom

Dove lo sforzo nominale è calcolato rispetto alla sezione ridotta (ridurre l’area per l’assiale o aggiu-

stare il momento d’inerzia per i momenti).

k H /h

Tale viene calcolato in funzione di due rapporti: l’entità del restringimento e la severità del-

t r /h k = 3

l’intaglio . Nel caso di foro passante in particolare se il foro è piccolo rispetto alla lar-

t

k → 2

ghezza totale e mano a mano che il diametro del foro aumenta.

t k σ

NB: nonostante il diminuisca si ha comunque un aumento di dovuto alla riduzione di sezione

t max

resistente in corrispondenza del foro.

Effetto d’intaglio statico sperimentale

Sperimentalmente si nota che i materiali duttili resistono meglio rispetto ai fragili, perciò si introdu-

ce un altro criterio: k = k fragili

s t

F

lim k = k

k = > 1 = prima plasticizzazione

s t

s F′

lim k = 1 plasticizzazione totale

s 8



Fatica σ − σ

max min

σ =

Sforzo alternato:

• a 2

σ + σ

max min

σ =

Sforzo medio:

• m 2

• Limite di fatica teorico: σ = 0,5 ⋅ R

flessionale faf m

σ = 0,4 ⋅ R

σ = assiale faa m

fa τ = 0,25 ⋅ R

torsione fat m

R = σ /σ

Rapporto di ciclo:

• min max R = 1 caso statico

R = − 1

R ≤ 1 → fatica alternata

R = 0 fatica pulsante

σ = 0

Consideriamo il caso di fatica alternata ( ), disegnando il diagramma di Wohler in scala bilo-

m σ

garitmica notiamo che questo si divide in tre parti in funzione del valore di : rottura quasistatica,

a

fatica a termine/vita limitata e fatica illimitata.

Poiché spesso vogliamo progettare componenti che lavorano con vita illimitata deve valere che:

σ

fa

σ <

a,nom η

Fatica - Componenti reali σ ⋅ b ⋅ b ( )

fa 2 3

σ < σ′ = σ′ σ , b , b , k

dove

a fa 2 3 f

fa fa

k ⋅ η

f

b < 1

Effetto di dimensione : riduce il limite di fatica all’aumentare del diametro in funzione del-

• 2 b → 0,7

l’effetto scala e dell’effetto gradiente. Nel caso di componenti di grandi dimensioni e

2

σ′ = b ⋅ σ ≃ 0,4R = σ

otteniamo valori simili al caso assiale: .

2 faf m faa

faf

b < 1

Effetto di superficie : riduce il limite di fatica all’aumentare della rugosità superficiale, tale

• 3 R

riduzione aumenta all’aumentare della del materiale a causa dalle ridotte dimensioni del grano.

m

k > 1

Fattore di intaglio a fatica : riduce il limite di fatica in presenza di intagli in funzione della

• f q

sensibilità all’intaglio a fatica . ( )

k = 1 + q k − 1

f t

0 < q < 1

Sensibilità all’intaglio a fatica : valore calcolato empiricamente (formule di Peterson e

• q k

Neuber). Nonostante al diminuire del raggio di raccordo diminuisca, e quindi intuitivamente f

k

dovrebbe diminuire, l’aumento del ha complessivamente un impatto maggiore

t r ↓ ⇒ q ↓ k ↑ k ↑

t f

9

 

 Fatica - Sforzo medio

La presenza di uno sforzo medio modifica il limite di fatica abbassandolo se di trazione e aumen-

tando entro un certo limite se di compressione (le cricche di fatica vengono tenute rispettivamente

aperte o chiuse). σ σ

Per identificare il limite di fatica si utilizza il diagramma di Haigh, un grafico su , dove viene

a m

delimitata un’area all’interno della quale il provino ha vita illimitata.

σ > 0 σ

Per semplificare questo diagramma tracciamo: per i la linea di Goodman, che collega a

m fa

| |

R σ + σ < R

; le limitazioni di snervamento, in moto tale che e che quindi il materiale non

m a m sn

raggiunga lo snervamento; la limitazione superiore in favore di sicurezza, ossia una linea orizzonta-

σ

le passante per .

fa

Nel caso di componenti reali devo applicare alcuni accorgimenti:

σ b b

fa 2 3

σ′ =

Ridurre il limite di fatica:

• fa k f R R

Nel caso di materiali fragili o duttili limitati alla prima pl