Formulari di Algebra lineare e geometria

R X

t t

hx | hx |

g (x, y) = yi = x Iy = x y = x y = yi

I I i i

i n

Osservazione 17.1.4. Se e , . . . , e sono i vettori della base standard di , allora

R

1 n ti

e Ae = a

j ij

dove a è il coefficiente in posizione (i , j) della matrice A.

ij

Dimostrazione. Ae è uguale alla colonna j di A, e moltiplicandola a sinistra per

j

ti

e otteniamo il coefficiente in posizione i della colonna j, ovvero a .

ij

114

17.2. MATRICE ASSOCIATA AD UN’APPLICAZIONE BILINEARE 115

t t

×

Corollario 17.1.5. Se A, B sono due matrici n n tali che x Ay = x By per ogni

n

∈

x, y . Allora A = B.

R

Dimostrazione. Basta scegliere x = e e y = e per avere l’uguaglianza dei

i j

coefficienti in posizione (i , j) nelle due matrici. × →

Definizione 17.1.6. Una forma bilineare g : V V è

K

• ∈

simmetrica se g(u, v ) = g(v , u) per ogni u, v V .

• −g(v ∈

antisimmetrica se g(u, v ) = , u) per ogni u, v V .

n,n

∈

Proposizione 17.1.7. Data A , si ha:

R t

⇐⇒

(1) g è simmetrica A è simmetrica (ovvero A = A ).

A t

⇐⇒ −A).

(2) g è antisimmetrica A è antisimmetrica (ovvero A =

A

Dimostrazione. Dimostriamo il primo punto, il secondo è analogo. Sia x =

P P

a e e y = b e . Per bilinearità,

i i j j

i j X X

g (x, y) = a b g (e , e ) e g (y, x) = b a g (e , e )

A i j A i j A j i A j j

ij ij

Siccome a b = b a , ne segue che g è simmetrica se e solo se g (e , e ) =

i j j i A A i j

g (e , e ) per ogni i , j. Questo equivale a dire che a = a per ogni i , j, dove a =

A j i ij ji ij

ti

e Ae = g (e , e ) è il coefficiente (i , j) di A.

j A i j × →

Definizione 17.1.8. Una forma bilineare g : V V è

R

• 6

definita positiva se g(u, u) > 0 per ogni u = 0 in V .

• 6

definita negativa se g(u, u) < 0 per ogni u = 0 in V .

• ≥ ∈

semidefinita positiva se g(u, u) 0 per ogni u V .

• ≤ ∈

semidefinita negativa se g(u, u) 0 per ogni u V .

• ∈ ∈

indefinita se g(u, u) < 0 per certi u V e g(u, u) > 0 per altri u V .

Una forma bilineare g è un prodotto scalare se è simmetrica e definita positiva. n,n

∈

Esempio 17.1.9. Consideriamo una matrice diagonale A = diag(λ , . . . , λ ) .

R

1 n

2 2

2

P . In questo caso A è:

= λ x + . . . + λ x

Allora g (x, x) = λ x 1 n

A i n

1

i i

• definita positiva se tutti i λ sono > 0.

i

• definita negativa se se tutti i λ sono < 0.

i

• ≥

semidefinita positiva se tutti i λ sono 0.

i

• ≤

semidefinita negativa se tutti i λ sono 0.

i

• indefinita se qualche λ è positivo e qualche λ è negativo.

i i

17.2. Matrice associata ad un’applicazione bilineare

Definizione 17.2.1 (Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base).

×V →

Sia g : V una forma bilineare e sia α = (v , . . . , v ) una base di V . Associamo

R 1 n ∈

a g la matrice A = [g] la cui componente (i , j) è a = g(v , v ) R:

α ij i j

([g] ) = g(v , v ).

α ij i j

Osservazione 17.2.2. A partire dalla matrice A = [g] possiamo ricostruire l’ap-

α

plicazione bilineare g nel modo seguente. Per calcolare g(u, v) scriviamo u, v come

116 17. FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE

P P

combinazioni lineari degli elementi della base: u = x v , v = y v . Allora per

i i j j

i j

bilinearità X

g(u, v) = x y g(v , v )

i j i j

i,j t y

x 1

1 .

..

X ..

A

= x y a = .

i j i,j y

x n

n

i,j

In altre parole, t

g(u, v) = c (u) [g] c (v)

α α α

×V →

Applicare g : V ai vettori corrisponde ad applicare la forma bilineare associata

R

alla matrice A = [g] alle loro coordinate.

α n,n

∈

Osservazione 17.2.3. Data una matrice A , la matrice associata all’applica-

K

n n

× →

zione bilineare g : nella base stardard è proprio A. Questo segue dal

R R R

A

t

fatto che e Ae = a , dove a è il coefficiente in posizione (i , j) di A.

j ij ij

i 17.3. Cambio di base e matrici congruenti

n,n

∈

Definizione 17.3.1. Due matrici A, B sono congruenti se esiste una matrice

R

t

invertibile M tale che M AM = B.

L’importanza della congruenza tra matrici dipende dalla proposizione seguente.

× →

Proposizione 17.3.2. Sia g : V V una forma bilineare e siano α = (v , . . . , v )

R 1 n

e β = (w , . . . , w ) due basi di V . Allora [g] e [g] sono congruenti. Più precisamente

1 n α β

si ha βα t βα

[g] = ([i d] ) [g] [i d]

β α

Dimostrazione. Basta mostrare che il coefficiente (i , j) delle due matrici è uguale.

Ricordiamo che il coefficiente (i , j) di una matrice si ottiene moltiplicandola a sinistra

t e a destra per e . Inoltre e = c (w ) (possiamo interpretare e come il vettore

per e j j β j j

i t t

colonna delle coordinate di w nella base β) e e = c (w ) . Il risultato desiderato

j β j

i

segue dalla seguente catena di uguaglianze.

t t

βα βα t βα βα

([i d] [g] [i d] ) = e [i d] [g] [i d] e

α ij α j

i t

t βα βα

= c (w ) [i d] [g] [i d] c (w )

β i α β j

t

= c (w ) [g] c (w )

α i α α j

= g(w , w )

i j

= ([g] )

β ij

dove abbiamo usato le formule di cambio di base e il fatto che la trasposta del prodotto

è il prodotto delle trasposte in ordine inverso: t

βα t t βα

c (w ) = [i d] c (w ), c (w ) = c (w ) [i d]

α j β j α i β i

Osservazione 17.3.3. Se A e B sono coniugate tramite una matrice ortogonale, allora

sono anche congruenti. 17.4. FORME QUADRATICHE 117

Dimostrazione. Ricordiamo che A e B sono simili, o coniugate, se esiste una

−1

matrice invertibile P tale che B = P AP. Dire che A e B sono coniugate tramite

una matrice ortogonale significa che P può essere scelta ortogonale. In questo caso

−1 t

P = P e otteniamo la congruenza.

n

∈

Proposizione 17.3.4. Sia A una matrice simmetrica e sia α = (v , . . . , v )

R 1 n

una base ortogonale (non necessariamente ortonormale) di autovettori di A e sia λ

i

α t

l’autovalore di v . Sia M = [i d] la matrice di cambio di base. Allora M AM è una

i st 2

||v ||

matrice diagonale e sulla diagonale ci sono i valori λ .

i i

2

||v ||

λ 0 ... 0

1 1

.. ..

t 2 2

||v || ||v ||

M AM = = diag(λ , . . . , λ )

. . 1 1 n n

2

||v ||

0 ... 0 λ n n t

Dimostrazione. Il coefficiente in posizione (i , j) di M AM è dato da

t t t t t t

(M AM) = e M AMe = v Av = v λ v = λ v v

ij j j j j j j

i i i i

( 6

0 se i = j

t

v = .

Ora basta osservare che v j

i 2

||v || se i = j

i n,n

∈

In particolare abbiamo dimostrato che se A è simmetrica, allora A è

R

congruente ad una matrice diagonale. ×V →

Osservazione 17.3.5. A lezione abbiamo osservato che se g : V è una forma

R

{v }

bilineare simmetrica e α = , . . . , v è una base g-ortogonale di V , allora [g] è

1 n α n

∈

una matrice diagonale. Quindi per dimostrare che una matrice simmetrica A R

è congruente ad una matrice diagonale, non serve prendere una base di autovettori,

basta una base g -ortogonale. Vedere lavagne lezioni.

A 17.4. Forme quadratiche

Definizione 17.4.1. Un polinomio omogeneo è un polinomio (in più variabili) in

cui tutti i monomi hanno lo stesso grado. Una forma quadratica è un polinomio

omogeneo di secondo grado (o più precisamente è la funzione definita da un tale

polinomio).

Esempio 17.4.2.

2 2

• 5x + 3xy + 4y è una forma quadratica.

2 2

• 5x +3xy +4y +2x +3 non lo è perché non tutti i monomi che vi compaiono

hanno grado 2. x a ... a

! !

1 11 1n

. . . ∈

Proposizione 17.4.3. Se x = è una n-upla di variabili e A =

.. .. ..

x a ... a

n n1 nn

n,n , allora

R X

t

x Ax = a x x

ij i j

ij

è una forma quadratica. n,n

∈

Proposizione 17.4.4. Data una matrice A esiste una ed una sola matrice

K

n,n t t

∈

simmetrica B che definisce la stessa forma quadratica, ovvero x Ax = x Bx

K

n

∈

per ogni x .

K

118 17. FORME BILINEARI E FORME QUADRATICHE

Dimostrazione. Sia A = [a ]. Per trovare una matrice simmetrica che definisce

ij

t

la forma quadratica x Ax basta sostituire ciascuna coppia di coefficienti a , a fuori

ij ji

dalla diagonale con la loro media (a +a )/2. Il contributo complessivo al coefficiente

ij ji

del monomio x x non cambia.

i j 2 2

−3y

Esempio 17.4.5. La forma quadratica 5x +4xy può essere espressa nei seguenti

modi equivalenti, uno simmetrico, l’altro non simmetrico:

x x x x

2 2

5 2 5 1

−

5x )t

+ 4xy 3y = ( ( ) = ( )t ( )

y y y

y −3 −3

2 3

. Il vantaggio della forma simmetrica è che possiamo usare il teorema spettrale per

diagonalizzare la matrice. Questo è utile per dimostrare il seguente risultato. C

Teorema 17.4.6. Sia q(x , . . . , x ) una forma quadratica e consideriamo la curva

1 n

di equazione q(x , . . . , x ) = c. Esiste una trasformazione ortogonale che trasforma

1 n 2

P

C in una curva definita da un’equazione della forma λ x = c.

i

i i

2 2

Esempio 17.4.7. Consideriamo la forma quadratica 3x + 4xy + 6y = 10. Trovare

2 2

un cambio di variabili che permetta di scrivere la quadrica nella forma aX + bY = 10

e in base ai segni di a, b determinare se si tratta di un ellisse o di una iperbole.

3 2

Svolgimento. Sia A = ( ). La quadrica si può scrivere nella forma

2 6 t x

x ) = 10

) A (

( y

y

Il polinomio caratteristico di A è 2 − − −

p (λ) = λ 9λ + 14 = (λ 7)(λ 2)

A −2 ∈ V e

Gli autovalori sono 2 e 7 e come autovettori possiamo prendere u = 2

1

−2

1

12 ∈ {u, }

v = ( la matrice

) V . Sia α = v la base degli autovettori ed M =

7 1 2

α . Se x, y rappresentano le coo