Formulari di statistica e probabilità

N

∑ 2

x μ

( )

−

Varianza  i

2 i=1

v a r ia n z a d e ll a p o p o l a z i o n e =σ = N

n

∑ 2

x

( )

−−x

i

2 i =1

v a r i a n z a c a m p i o n a r i a= s = n−1

Scarto quadratico medio  √ N

∑ 2

x

( )

−μ

i

√ 2 i=1

s c a r t o q u a d r a t i c o m e d i o d e l l a p o p o l a z i o n e= σ = N √ n

∑ 2

x

( )

−−x

i

√ 2 i=1

s c a r t o q u a d r a t i c o m e d i o c a m p i o n a r i o= s = n−1

k

Disuguaglianza di Chebychev (con ) la percentuale di osservazioni che appartengono

>1 ( )

1

( )

μ−k σ ; μ+ k σ k

all’intervallo ( ) è: almeno , dove rappresenta il fattore

100 1− 2

k

moltiplicativo dello scarto quadratico medio. σ

c o e f f i c i e n t e d i v a r i a z i o n e d e l l a p o p o l a z i o n e=C V

Coefficiente di variazione = ×100

 ∣−μ∣

μ≠0

( ) 2

s

c o e f f ic ie n t e d i v a r i a z i o n e c a m pi o n a r i o=C V (

= ×100

∣−x∣

)

−x≠0 n

∑ w x

i i w x w x w x

+ + …+

Media ponderata: i= 1 1 1 2 2 n n

−x = =

n w w w

+ + …+

1 2 n

∑ w i

i= 1

'

w p e s o d e l l i−e s i ma o s s e r v a z i o n e

=

i K f

Media approssimata per dati raggruppati in classi con frequenze e valori centrali di ogni

m

classe : K K

∑ ∑ f m

N o ss er v a zi oni, N f

=

4. per una popolazione di  i i

i=1

i μ= N

i=1

K K

∑ ∑ f m

n o s ser v a zi oni , n= f

5. per un campione di  i i

i=1

i −x= n

i=1

K f

Varianza approssimata per dati raggruppati in classi con frequenze e valori centrali di ogni

m

classe : K K

∑ ∑ 2

f m μ

N o ss er v a zi oni, N f ( − )

=

6. per una popolazione di  i i

2 i=1

i σ = N

i=1

K K

∑ ∑ 2

f m

n o s ser v a zi oni , n= f ( −−x )

7. per un campione di  i i

2 i=1

i s = n−1

i=1 N

∑ x μ y μ

( ) ( )

− −

Covarianza  i x i y

i=1

c ov ar ian z a d ell a p o p o l a z i o n e=C o v X , Y σ

( ) = =

x y N

N

∑ x y y

( ) ( )

−−x −−

i i

i =1

c o v a r i a n z a c a m p i o n a r i a=C o v X , Y s

( ) = =

x y n −1

C o v X ,Y

( )

ρ=

Coefficiente di correlazione lineare della popolazione,

 σ σ

x y

Co v X ,Y 2

( ) r

r= ( )>

campionario, ( )

s s √ n

x y

y b x

Retta di regressione: ̂ =b +

0 1 s

C ov X ,Y

( ) y

b b

= =r =−y −b −x

1 0 1

2 s

s x

x

FORMULARIO DI PROBABILITÀ 3

N A

D e f i n i z i o n e c l a s s i c a d e ll a p r o b a b i l i t à=P A

( )= N

S=s p a zi o c a m p io na ri o A=ev e nt o d i S N=nu m er o t ot . d e g li e v en t i el em ent a r i di S

'

N u me r o e v e n t i e l e m e n t a r i c h e s o d d i s f a n o l a c o n d i z i o n e d e l l e v e n t o A

=n

A n k

Numero di combinazioni di oggetti presi alla volta:

n n−1 n−k

nk n ! ( )

⋅ ⋅… ⋅ ( +1 )

( )

n

C = = =

k k!

k ! n−k !

( ) nk

( ) o e f f i c i e nt e b i n o m i a l e

=c n

Interpretazione frequentista della probabilità: A

P A

( )= n

n u m e r o d i v ol t e c h e A s i è v e r i f i c a t o

n=n umer o di r i pet i zi on i d i un es pe ri m ent o =n

A

Assiomi della probabilità: O v e n t i e l e m e n t a r i

S=s p a zi o c am p io n a ri o d i u n es p e ri me nt o ca su a le =e

i

A=e v e nt o g en e ri c o

1. 0≤P A

( )≤1 ∑

⋃

P A O P O

( )=P ( )

=

( )

2. i i

A A

3. P S

( )=1 A

Regole della probabilità ( è un evento e è il suo complementare):

−A

'

- R e g o l a d e ll e v e n t o c o m p l e m e n t a r e→ P A

(−A )=1−P( )

R e g o l a a d d i t i v a d e l l e p r o b a b i l i t à→ P A∪B A P B A∩B

- ( ) ( )+ ( )−P(

=P )

P A d a t o l' ev e nt o B c h e si è v er i f ic at o

Probabilità condizionata ( ):

( )

P( A∩B )

P A , B c o n P B

( )= ( ) >0

P(B )

R e g o l a m ol t i p l i c a t i v a d e ll e p r o b a b ili t à A∩B A , B P B B , A P( A

- ( ) ( ) ( )=P ( )

→P =P )

A B

P A∩ B A P( B

Se allora e sono statisticamente indipendenti.

( )=P ( ) )

P A p r o b a b i l i t à c o n g i u n t e P B p r o b a b i l it à ma r g in a l i

( ) ( )

∩B → →

P( A o

)

i j j

i

P A P A P A P A

( ) ( ) ( ) ( )

= ∩B + ∩B +…+ ∩B

i i 1 i 2 i k 4

P( A∣B )P (B )

P B , A c o n P A

Teorema di Bayes: e

( )= ( ) >0

P( A )

P(B∣A A

)P ( )

P A , B c o n P B

( )= ( ) >0

P( B )

Funzione di probabilità (esprime la probabilità che X assuma il valore x, come funzione di x):

P x X x .

( )=P ( )

=x ∀

X :v ar iabi le al eat o ri a d i scr e t a

1. 0≤P x

( )≤1

∑ P x

( )=1

2. x X x F x P X x x

Funzione di ripartizione (probabilità che non superi ): ( ) ( )

= ≤ −∞ < < +∞

0 0 0 0

∑

F x P x

( )

( )

=

0 x≤x 0

0≤F x x

1. ( )

≤1 ∀

0 0

s e x e x s o n o d u e v a l o r i t .c . x , al l o r a F( x x

2. <x )≤F ( )

1 2 1 2 1 2

E X

Valore atteso di una variabile aleatoria discreta: ( )=μ=¿ ∑

2 2 2

( )

σ a r X X x−μ P( x

( )=E ( ) ( )

=V −μ = )

Varianza di una variabile aleatoria discreta: x

X

Valore atteso delle funzioni ( ) di una variabile aleatoria discreta ( ):

g( X )

∑

E g X g x P x

( )

( ) ( )

= ( )

x 1

X−μ X− μ −μ

x x b=

x

Z Z X

Variabile aleatoria standardizzata: a=

= =a+b = σ

σ

σ σ x x

x x

X− μ −μ

( ) 1

x x

m e d i a d i Z= E μ 0

= + =

x

σ σ σ

x x x

X μ

( )

− 1

x 2

v a r i a n z a d i Z=V a r σ

= =1

x

2

σ σ

x x

B er n o u ll i p

Distribuzione di : Sia la probabilità di successo e la probabilità di insuccesso

p

(1− )

X

e sia 1 la il valore che assume quando il risultato di un esperimento è “successo” e sia 0 il valore

nel caso il risultato sia “insuccesso”. La funzione di probabilità di questa variabile aleatoria è

P 0 p) e .

P 1

( )=(1− ( ) =p ∑

μ=E X x P( x 0 1− p 1 p= p

( )= )=( ) ( ) ( )

+

Media di Bernoulli: x