Esercitazioni Ingegneria dei sistemi meccanici

Ingegneria dei Sistemi Meccanici

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Indice

1 Funicolare 5

1.1 Funicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Moto in Regime Periodico 11

2.1 Macchina Funzionante in Regime Periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Analisi Dinamica Quadrilatero 23

3.1 Analisi Dinamica di un Quadrilatero Articolato . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Sistemi Vibranti 31

4.1 Sistema Vibrante ad 1 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Vibrazioni Forzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

4 INDICE

Capitolo 1

Funicolare

1.1 Funicolare

(dinamica del punto, integrazioni delle equazioni di moto)

In questa prima esercitazione viene richiesta la risoluzione del seguente problema: Una

piccola vettura di un impianto funicolare viene trainata da una fune (detta fune traente)

che esercita una forza variabile in funzione della velocità secondo la tabella seguente:

Figura 1.1: Tabella

Schematizzando il sistema nella maniera più semplice, trascurando tutte le resistenze

passive e ammettendo che il percorso sia sufficientemente lungo, determinare la velocità

massima raggiunta dalla vettura. Se, a partire dalla condizione precedente, la vettura

affronta un secondo tratto di pendenza pari a , determinare l’accelerazione massima e

◦

20

la velocità limite in tale tratto; stimare anche il tempo necessario a raggiungere la nuova

situazione di regime.

Dati

Massa della Vettura m = 2000 kg

Pendenza del Percorso ◦

α = 30

Per prima cosa è possibile notare che tutti i dati forniti dal problema sono dal punto

di vista della fune. Inoltre per comprendere meglio la situazione è conveniente immaginare

di tagliare la fune che traina la cabina, mettendo in evidenza tutte le forze alle quali è

soggetta e ponendo il sistema di riferimento cartesiano.

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6 CAPITOLO 1. FUNICOLARE

Figura 1.2: Forze Agenti sulla Cabina

Forze

Le forze agenti:

e : sono le forze che agiscono tra le ruote e le rotaie

N N

1 2

: è l’accelerazione della cabina verso il basso (Forza di inerzia)

ma : è il peso della cabina

mg : è la forza motrice che agisce attraverso la fune

F

m

Con una prima osservazione possiamo dire che passando dalla configurazione con una

pendenza di ad una di , il sistema subirà un’ accelerazione. Per la risoluzione, si

◦ ◦

30 20

procede scrivendo la sommatoria delle forze agenti lungo l’asse x:

X → − −

F = 0 F mg sin α ma = 0

x m

Dove (dipende dalla Velocità) mentre "−mg è la forza dell’utilizzatore.

F = F (v) sin α"

m m

Inoltre sappiamo che il sistema in moto, in regime assoluto presenta la caratteristica di avere

velocità costante e quindi accelerazione nulla ( Dunque riscrivendo l’equazione di

dE = 0).

dt

equilibrio delle forze lungo l’asse x, otteniamo:

− →

F mg sin α = 0 F = mg sin α

m m

Il medesimo risultato lo si può ottenere usando il Teorema delle Potenze, infatti in

condizione di regime: → − →

F v + mgv = 0 F v mgv sin α = 0 F = mg sin α

m m m

Si presti la dovuta attenzione che il segno della forza dovuta all’utilizzatore "−mgv è

sin α"

negativo essendo una forza che esercita un’ azione resistente, opponendosi al trascinamento

della cabina. Per il completamento dell’esercizio è possibile scrivere un codice Mathlab

che permette la creazione di grafici utili alla comprensione di quanto avviene durante il

moto del sistema. Come si può notare dall’immagine, come prima cosa vengono create

le variabili, associate ai gradi utilizzando (che dovranno essere

"alpha1deg e alpha2deg",

opportunamente convertite in radianti), alla massa all’ accelerazione di gravità

"m", "g",

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1.1. FUNICOLARE

alla forza e alla velocità Quest’ultima deve essere espressa come vettore con

"Fmkgf" "vel".

valori che vanno da "0" a "14" di cui ognuno è distanziato dal precedente di due unità. I

valori della forza resistente (per il caso 1 e 2) vengono calcolati come mostrato,

"Fr1 e Fr2"

e sono utilizzati per la creazione di due vettori riga, di lunghezza distinti, da usare

"Fmn"

per costruire i grafici per le due configurazioni richieste.

Figura 1.3

Nel primo tratto si ottiene che e , nel secondo

m

F = 9810 N v = 8.3704 F =

m reg1 m

s

e . Arrivati a questo punto si deve effettuare un’ interpola-

m

6710.4352 N v = 10.8344

reg2 s

zione lineare tra le curve per sapere il valore della forza in un determinato istante. Questa

operazione, la si effettua creando un nuovo vettore che assumerà il valore della forza in

condizioni di regime per la prima e per la seconda configurazione, usando il comando "in-

a cui si danno i rispettivi valori "Fmn, vel e Fr1 e Fr2". Se si vuole una maggiore

terp1"

comprensione si può usare il quale mostra a schermo i valori trovati. Per il calcolo

"disp"

dell’ accelerazione si procede come segue: −

F mg sin α

m

a = m

A seguito di ciò è bene effettuare delle dovute osservazioni;

Osservazione 1: la massima accelerazione si avrà con velocità nulla.

Osservazione 2: quando si passa dalla configurazione 1 alla 2, il sistema subisce una

accelerazione che lo porta ad una nuova velocità di regime. Questa transizione non è però

istantanea ma è presente un transitorio ed è per questo motivo che si deve effettuare un’ap-

prossimazione che permetta di capire in quanto tempo il sistema transita dalla velocità di

regime 1 alla 2. −

F mg sin α integrando

m −−−−−−−→

a = v(t)

m

posso riscrivere: ∆v dv − −

F F F F

dv ∆v

lim = m r m r

∆t→0 ∆t dt

−−−−−−−

−−−

→ → −

a = = v v = ∆t

i+1 i

dt ∆t m m

Riscrivendo il tutto nuovamente: v = v + a(i)∆t

i+1 i

8 CAPITOLO 1. FUNICOLARE

si ottiene dunque un’ approssimazione del 1° ordine nota come Metodo di integrazione

al 1° ordine di Eulero esplicito.

Nel codice mathlab questa operazione viene fatta attraverso un ciclo dove come

"while",

valore iniziale di velocità viene considerata quella di regime 1, di tempo e il passo

t = 0

di integrazione di . La iniziale viene calcolata attraverso un’ interpolazione

−3

10 F (i)

m

lineare inserendo i valori di e sostituita poi nella formula per il calcolo

"Vel, Fmn e V(i)",

dell’accelerazione. Essendo un ciclo, la velocità iniziale viene incrementata, sommandole

il valore della accelerazione moltiplicata per il valore del passo di integrazione "v(i + 1) =

anche il tempo subisce un incremento di "t(i e così anche

v(i) + a(i)dt", + 1) = t(i) + dt"

la flag "i". Il ciclo continua fino a quando la velocità iniziale non raggiunge il valore di

0.98 quella di regime 2. Figura 1.4

Per la rappresentazione grafica, usiamo il comando mentre il permette

"figure", "subplot"

di inserire in un’unica figura più grafici. Nel primo grafico viene messa l’accelerazione in

funzione del tempo, mentre nel secondo la velocità in funzione del tempo.

Figura 1.5

Per le curve caratteristiche viene creato un ulteriore grafico, usando questo codice Mathlab

simile al precedente. 9

1.1. FUNICOLARE Figura 1.6

Figura 1.7

Figura 1.8

10 CAPITOLO 1. FUNICOLARE

Capitolo 2

Moto in Regime Periodico

2.1 Macchina Funzionante in Regime Periodico

In questa esercitazione vine richiesta la risoluzione del seguente problema:

Figura 2.1: Schema dell’impianto di pompaggio

Della pompa volumetrica a stantuffo a singolo effetto rappresentata in figura sono noti i

seguenti dati: 11

12 CAPITOLO 2. MOTO IN REGIME PERIODICO

Dati

Pressione di mandata p = 4.8 bar

m

Pressione di aspirazione −0.5

p = bar

a

Corsa dello stantuffo c = 280 mm

Diametro dello stantuffo D = 210 mm

Momento di inerzia del motore 2

J = 0.1 kgm

m

Massa del piede di biella m = 54 mm

Velocità di rotazione media dell’albero di manovella n = 195 rpm

Rapporto di trasmissione τ = 1/7.5

Rendimento della trasmissione µ = 0.85

t

Viene chiesto di:

1. determinare il momento di inerzia del volano che garantisca di limitare il valore

J

v

dell’irregolarità a 0.03;

i

2. determinare il moto a regime dell’albero di manovella della pompa considerando come

curva caratteristica del motore quella rappresentata in figura 3.2 di equazione:

∗

M = M + K n

m 0 m

dove: Nm

−0.1225

M = 380 N m, K =

0 rpm

Figura 2.2: Curva Caratteristica del Motore

Per procedere con la risoluzione di questo esercizio occorre fare prima un analisi cine-

matica. 13

2.1. MACCHINA FUNZIONANTE IN REGIME PERIODICO

Osservazione: I carichi sul sistema risultano variabili con l’angolo della manov