Endomorfismo

Endomorfismi

Se dim(V) = n

Il cambio di base è

Quando se in base B ho la matrice A

• Due matrici A, B si dicono simili se ∃ M invertibile tale che B = M^-1AM

In altre parole A e B sono simili se rappresentano lo stesso endomorfismo in due basi diverse

Esempio

• A = ^{(1 0)} _{(0 3)}

• A = (1/3 0)( 0 3)

A = (2 1)(1 2)

Il vettore e₁ va in 2, 1

Il vettore e₂ va in 1, 2

Infatti le appli. linearetrasform.-no parallelog. in parallelog.

N_n = (1)(1)

ϕ(N_n) = (3)(3) = 3 N_n

ϕ(x) = AX

N₂ = (-1)(1)

ϕ(N₂) = (-1)(1) = N₂

Nuova Base B = (N₂, N_n)

M_B(ϕ) = ([ϕ(N₂)]_B, [ϕ(N_n)]_B) = ([N₂]_B [N_n]_B) = (0 0) 0 3)

• A = (2 0)(0 0)

· V_z = Ker ( f - zI )

{x = 0

y = 0

z = 0

OSS] se λ ≠ μ => V_z ∩ V_μ = 0

infatti se f(n) = λn e f(n) = μn

λn = f(n) = μn

λn = μn

(λ − μ)n = 0

λ = μ

Ke ( f − λI) ≠ 0 ⇔ det ( A − λI ) = 0

ρ(λ) = det (A − λI )

non dipende dalla scelta (DIMOSTRALO)

n = dim(V)

Def:

La molteplicità algebrica di λ è la molteplicità di λ come radice del caratteristico

1. ^{) 2 0 0 0 2-λ 0 0 0 2}

η_A(λ) = det (

^{2-λ 0 0 0 2-λ 0 0 0 2}) = (2-λ)³

m_α(2) = 3

m_g(2) = 3 - R (

^{0 0 0 0 0 0 0 0 2}) = 2

2 ≠ 3 => l non è diag.

2. ^{2 1 0 1 2-λ 0 0 0 3}

η_A(λ) = |

^{2-λ 1 0 1 2-λ 0 0 0 3-λ}|

= (3-λ) |

^{2-λ 1 1 2-λ}|

= (3-λ) (1-λ) (3-λ) = (3-λ)² (1-λ)

m_α(3) = 2 m_α(1) = 1

m_g(3) = n - R (A-3I) = 3 - R (

^{-1 1 0 1 -1 0 0 0 0}) = 3-1=2

m_g(1) = n - R (A-I) = 3 - R (

^{1 1 0 1 1 0 0 0 2}) = 3-2=1

m_g(1) + m_g(3) = 1 + 2 = 3 = o f è diagon.