Esercizi sulla Circonferenza ed endomorfismo

Esercizi sulla

Circonferenza

ed

endomorfismo

: + − = 0

Trovare la circonferenza del piano avente i punti A(1, 1, 2) e B(1, −1, 0)

C

come estremi di un diametro. La circonferenza richiesta `e data dall''intersezione della sfera

con il piano , dove ∑ e' la sfera di centro il punto medio C del segmento AB e di raggio

∑ π

= =

Svolgimento + + +

= , , = (1,0,1)

2 2 2

1 √8

= − ) +( − ) +( − ) =

(

2 2

Da cui ( − 1) + + ( − 1) = 2

: + − =0

Si consideri, al variare del parametro , l'endomorfismo f di definito da

k

f (x; y; z) = (-9x + ky + 3z, ky, 3x - z)

k è un automorfismo e per quali valori di k, f è

stabilire per quali valori di k l'endomorfismo f k k

semplice.

Svolgimento

Sia Ak la matrice associata all'endomorfismo fk

−9 3

= 0 0

3 0 −1

fk e un automorfismo se e solo se rgAk = 3 ossia se e solo se detAk ≠0. Ora

detAk = 0 per ogni valore di k

quindi fk non è mai un automorfismo.

Calcoliamo ora il polinomio caratteristico di Ak:

−9 − 3 = + 10 −

det − = 0 − 0

3 0 −1 −

= 0; λ =-10 e λ = k, da cui

Abbiamo così gli autovalori: λ

1 2 3

λ = λ , ↔ k = 0

1 3

= λ , ↔ k=-10

λ

2 3

Possiamo allora affermare che per k ≠-10, si hanno 3 autovalori distinti e quindi fk è semplice.