Complementi di calcolo - Secondo esonero

R

3

{( ∈ ∈ ≤ ≤

= ) ( ) ( ) ( )}

D x, y, z x, y D x, y z x, y

/ , allora:

α β

0 ( )

x,y

β

RRR RR R

( ) = ( ( ) )

f x, y, z dxdydz f x, y dz dxdy

Proposizione 2.4. D D ( )

x,y

α

0

2.2 Formule di Riduzione per STRATI

R

3

{( ∈ ≤ ≤ ∈ }

= ) ( )

D x, y, z z h2, x, y D D

/h1 con sezione di D a quota z. Allora se

z z

R

−

→

f D

: è continua in D: h2

RRR R RR ( ) )

( ) = ( f x, y, z dxdy dz

f x, y, z dxdydz

Proposizione 2.5. D h1 D z

× ×

= [ ] [ ] [ ] ( ) = ( ) ( ) ( )

D a, b c, d e, f f x, y, z g x h y k z

Un caso particolare è e se , allora

b d f

RRR R R R

( ) = ( ( ) )( ( ) )( ( ) )

f x, y, z dxdydz g x dx h y dy k z dz

D a c e

2.3 Cambio di Variabili

 = ( )

x g u, v, w  

∇ g

1

 1



 ∇

( ) =

J u, v, w

g : g

= ( )

y g u, v, w  

g 2

2  

 ∇ g

 = ( )

z g u, v, w 3

 3

RRR RRR

( ) = ( ( ))| ( )|

f x, y, z dxdydz f g u, v, w J u, v, w dudvdw

det g

− 1 ( )

D g D

2.3.1 Coordinate Cilindriche

 =

x cos

ρ θ





 ( ) = ( )

g z z

con cos sin

=

y sin ρ, θ, ρ θ, ρ θ,

ρ θ



 =

z z

 ( ( ) =

J z

det quindi si ha che:

ρ, θ, ρ,

g RRR RRR

( ) = ( )

f x, y, z dxdydz f z

cos sin

ρ θ, ρ θ, ρ ∂ρ∂θ∂z

− 1 ( )

D g D

2.3.2 Coordinate Sferiche

 =

x sin cos

ρ ϕ θ





 ∈ ∈

> [ ] [ ]

con 0, 0, 2π , 0,

=

y sin sin ρ θ ϕ π

ρ ϕ θ



 =

z cos

 ρ ϕ 2

−

( ( ) =

J

det sin quindi si ha che:

ρ, θ, ϕ ρ ϕ,

g 2

RRR RRR

( ) = ( )

f x, y, z dxdydz f sin cos sin sin cos sin

ρ ϕ θ, ρ ϕ θ, ρ θ ρ ϕ ∂ρ∂θ∂ϕ

− 1 ( )

D g D 5

3 Solidi di Rotazione

Applicazione fisica

4 Rotori

Da recuperare

5 Serie e Trasformate di Fourier

R R

−

→

f

Sia : periodica di periodo 2π [− ]

Considerando come intervallo di periodicità . Definiao i cosiddetti coefficienti di

π, π

Fourier associati ad f come segue: 1 π

R ( )

= f x dx

a 0 −

π π

1 π

R

= ( ) ( )

a f x nx dx

cos

n −

π π

1 π

R ( ) ( )

= f x nx dx

b sin

n −

π π

dove f(x) è supposta essere almeno continua o con al più punti di discontinuità eliminabili

o con salto.

Allora definiamo la serie di Fourier associata ad f come segue:

∞

a +

∑

−→ 0 ( ) + ( )

+ a nx b nx

f cos sin

Proposizione 5.1. n n

=

n

2 1

(Teorema di Convergenza Puntuale)

Teorema 5.2.

R R 1

−

→

f C

Sia : periodica di periodo 2π e supponiamo che f sia di classe a tratti,

cioè f sia continua, derivabile e con derivata prima continua eccetto in un numero

finito di discontinuità eliminabili o con salto.

Allora la serie di Fourier associata ad f converge puntualmente a:

 + ) = ( )

f t

f(x lim

−

+  +

→

t x

( )+ ( )

f x f x dove:

2 − ) = ( )

f t

f(x lim −

→

 t x

5.1 Proprietà

- Supponiamo f(x) PARI, allora: 1 π

R

= ( ) ( )

a f x nx dx

cos

n −

π π =

b 0

n

∞

a +

∑

0 + ( )

a nx

- - Ovvero si ha: cos

n

=

n

2 1 6