Calcolo numerico

METODO CONVERGENZA

2

P =

· =

Se SUPERLINEARE

1 <PL2 METODO

· =

3 CONVERGENZA

se A CUBICA

METODO

=

· p =

Un metodo iterativo si dice:

METODO LINEARMENTE CONVERGENTE:

(1) 15-Xnel

t

Se7 ,

OlM11 M/g-Xn)

C per =

Vale

grande

n :

. .

METODO A CONVERGENZA QUADRATICA:

(2) xn/

13-xn =M/g

11

M10t Vale

grande

Der

7 n

Se :

C + -

.

.

METODO A CONVERGENZA SUPERLINEARE:

(3) 7 grande

di t

successione

se per

Costanti Mn-0

O (Mn21 Vale

Mn

una per .

c

no n

: :

.

xn14818 ?

Mn/b

15 1) =

xn +

- -

Ordine di convergenza dello schema di punto fisso: è

g'(3) fo lineare

convergenza

la

cui

Nell'ipotesi in

· relazione g(Xn)

La Xn 1

: + = cambio

segno agli G

errori

3 -

G

g- Xn errn

En errn+

err xn xn errn xn cambio

Xn err

= seg

+

+

2 1

=

= 1 =

+

= y

-

= +

- .

En

y

Xn + 1

V + +

1 =

& g(3 En)

En applicando Taylor

+

+ y

+= Ent g'(3) (trascurando

En termini

altri della Taylor

gli formula

=

La costante asintotica per lo schema di punto fisso nel caso generale vale dunque: 1g'(g))

M = conv.

Teorema

g'(g) 19'(5111

il

o metodo in

converge

· se sempre quanto

=

Ordine di convergenza nel metodo di Newton - raphson: I I

e m

la asintotica dell'errore

Generalmente vale e cost

2 :

p = =

METODO DI N-R PER RADICI MULTIPLE: *

3 (3)

f(g) fr(g)

(g)

f' f

molteplicità 0 può

f(x)

si 0 essere

rse +

dice radice ma

con =

=

=

=

(X-3) 9(3)

Scritta f(x)

come + 0

: = f(Xn)

la formula Xn

caso

questo

In Xn-r

N-R > 1

= =

+ f'(Xn)

PARTICOLARI

CASI :

f'(Xo)

f'CxolNO 0

· valori Oscilla punti

della

I da

generata tra

success 2

· Xo

.

ALTRI METODI PER GLI ZERI DI FUNZIONE:

Xn-f(xm)

ricorsiva

Formula Xn 1

: =

+ En

N-R/TANG (Xn

f' f(xn))

(1) (Xn) Formula VARIAB

per Cn Angol

= Xn

Ch in

Coeff intersecaasseX

della retta tang. a che

= = 1

+

. . ,

.

.

(2) f'

Ch (X0)

FISSA

TANG

DELLA

METODO Ch cost.

= =

. f(kl-f(Xo)

SECANTE f'(Xol

(3) approssima

Ch

FISSA derivata

Cost la

Ch e

= = .

V X1 Xo

se lo -

convergono fanno

, linearmente f (Xn) f(Xn 1)

- -

(4) Cr

FALSI

VARIABILI/REGULA

SECANTI

METODO = Xn Xn 1

- - quelli

punti X assegnati

in

valori approssimati

UCX) da

per trovare y

INTERPOLAZIONE ↳ interpolare

da

funz integrali derivate

e

approssimare .

assegnati

dati

Interpolazione l'insieme (Xi yi) dove

funz Dato

che per

cercare assunt

passi yi-val

una

: ·

. , all'ins

il cerchiamo

da sperimentale si

dato addica

funz in di ucx)

una Xi che

,

val un

o

. che VCXi)

di richiedo

dati, Yi

: =

Interpolazione polinomiale: (Xi

dati assegnati

i yil

DCXi)

definire polinomio

pCX) t yi per

Devo C =

. ,

. Cnx (1

(2x

polin (Xo

Sia date Co

yo) Y1)

Pn(x) G

di

p(x) n

grado trovo (2.

Co GX +....

+ + +

=

=

= . ,

, , ,

, ...

...

,

↓ ↓ Coeff

1

coppie +

n 1

+

punti polin

ho .

NB pr grado

1

se n

n +

: Pr

sen =

1

+ 2

=

Funzioni base monomiali: può

Base

è

interpolazione che scrivere

di funz come

combinazione

funz si

lineare

La di una

E :

. .

CnOn(x)

CoPo(x)

U(x) +.... +

= ↳ 4 Codo(x) (ndn(x) 0

coeff incogniti t

funz di +

C

base =

+....

.

. .

.

da determinare Xi

Di(x)

2

Xix" x"

i

base

di monomi

usiamo

caso

In questo funz , : =

....,

.

Polinomi di Lagrange: Pn(X) Pn(Xi)

è t

polinomio

L'obbiettivo trovare un C Gi

=

.

.

è

Pn(X)

polinomio polinomi di

di

di base

lineare polinomi

noti

costruito

Lagrange comb di come

come

Il ,

.

Dn(x)

Li(x)

Lagrange y1((x) yn(n(x)

Yolo(x)

: + +

+....

= Formula resto Lagrange:

1(gx)

fn +

f(x) Dn(x)

)(X

(X (X

X2)

x Xi)

X0)(X (T(x

-

X2) =

-

- + - - -

(n 1) !

+

Dove oLo(x) oL1(x)

= = - -

X1)(X0

(X0 Xz) (X1-X0)(X2

- X1)

- - Ex

Li(xi) 1

: = dipende

ignoto

" che

punto

=

-

I /Li(xi)

è

Lagr

polin Lis

Licx) definito

ogni di t

come

Dove C

: = da X

.

. .

. Xi Xj

jti - 0

=

0

j =

IX-Xol(X-X1) J(X X1)

X0)(X

[X-Xn) (X

Xi) =

Saltando -

-

X-xi - ....

.....

Li(X) (X

= Xn)

-

....

[Xi-Xol(Xi-X) (Xi-Xn) saltando Xi-Xi

....

Interpolazione polinomiale secondo Newton, Differenze divise:

Interpolaz

Polin C(X-Xo) Ca(X-Xol(X-X1l

P(X) Ch(X-Xol(X (X 1)

X1)

Co Xn

+ +

: +....

+

= -

- -

. ....

Co determinare

costanti da

C1 Sono

, ....

Uso divise

differenze

le :

punti

3

considero PnCx) FExo] Xn](x

f[X0 X1](X-X0) 72]9X-X0)/X-X1)

1x2 F(X0 f[x0

[Xo 141 413 gal 42

gol Xol

X1

+....

+ + +

= -

, ,

, , , ...,

,

, , ,

, (x 41)

-

"

(x )

Xn

-

f(x0 1

X1](x -

P2(x) X2](x X0)(X

f(x0 (1)

40)

yot X1

+

-

= - -

,

,

, (40 f[Xo]

Yo

DIVISA po(x) 1

DIFF ORDINE ZERO f(xi)

y0) yo

: =

= = =

·

,

. f(x1) f(x)

-

ORDINE f(x0

(0 y1) x1](x-x0)

DIVISA

DIFF f(x0

GO) (X1

DI UNO f(xo]

PeSXl 41]

+

-L

: =

=

,

, , ,

. , X1 Xo

-

[x1

DUE + 41]

f(X0

x2]

DIFF (0

DI ORDINE (X2

y1) y2)

(X

Y0)

: -

f(x0 X2] ,

,

x

,

. =

,

,

, , , ,

f(xo] X0) xy)

f(X0

f(x0

P2(x) x2](x

X1](X X0)(X Xo

Xe

+ x2

+

= - - -

-

,

, ,

APPROSSIMAZIONE: * : -

Prendendo una serie di dati sperimentali, ci accorgiamo che non sono esattamente su una retta, questo è dovuto ad

errori nei dati. Cerchiamo allora una retta che meglio approssima i dati senza dover passare esattamente per essi. :

:

91)

(dobbiamo

la

Sia che do

P1(x) stiamo cercando

21x retta trovare e

ao :

+

= ↓

Nell’approccio ai minimi quadrati, si cerca di minimizzare la somma dei quadrati degli scarti, cioè la somma dei quadrati delle

differenze tra i valori assegnati yi e i valori corrispondenti p1(Xi) sulla retta.

sull'i-esima

Scarto coppia-do-anxi-yi

funzione m 2

I

S(a0 DEGLI minima

Yi) SCARTI

QUADRATI

an) rendere

SOMMA

do a1Xi Del voglio

+ che

= =

- ,

, da

ci

↳ s

dipende

valori

Per minimizzare questa funzione, devo porre le derivate parziali della S rispetto ad a0 e a1 uguali a zero:

GS(a0

GS(a0 21)

del m

W Llaotaxi-yi ,

, yi) 0

(do

2xi 21xi

_ =- =

= + -

Gao dan i =

S S angi

Xlaotaxi-yi +

mar

=

i = 1 aoiay

Rxi(do yi) 0

21xi =

+ -

i 1

=

Mi vado a trovare in questo modo a0, a1 che individuano la retta y=a0+a1x detta RETTA DI REGRESSIONE oppure RETTA DI

MIGLIORE APPROSSIMAZIONE SUGLI SCARTI VERTICALI. Il procedimento appena svolto, che porta ad un sistema da risolvere è

detto procedimento di approssimazione minimi quadrati.

Se invece sono affetti da errore le ascisse delle coppie di punti, si può cercare la retta che minimizza gli scarti orizzontali, detta

detta retta di regressione lineare sugli scarti orizzontali, basta cambiare il ruolo delle X con quello delle Y per ricavare, con lo

stesso procedimento, la retta: mobi

S

= botbey-i

borbey Sco bel

K ,

↑ Quantità minimizzare

da è (X 4)

BARICENTRO DELLE yil

COPPIE

(Xi (xi

il

i dato

Yil

Assegnate dal punto :

m

1

= ,

, , ,

....,

m(Xi)

S i = =

X =

mMly

Approssimazione di tipo esponenziale e potenza:

Può capitare che i dati sperimentali abbiano un andamento di tipo esponenziale o ricordino una funzione potenza. Allora si può

richiedere che la funzione approssimante abbia una delle seguenti forme:

alb

MODELLO ESPONENZIALE

11) l

(Xi

y(X1 logaritmi

,

Date

n Coppie si

per ottenere ai

passa

a e

m

: yil

= ,

b Ine*

Inaetb

+ Iny Xb

ae Ina

Iny Ina

Iny

y + +

+

=

= = =

(Xi Yi)

, yi)

(Xi

Y

Pongo 91X In

Y

X do diventano

Ing le coppie

b

do an

In(y) +

=

x = :

=

= = ,

, ,

, ,

Se

S S

EYi en(a)

il Maota1[Xi

Ottengo sist do

: =

= =

21[(Xi)" [Xi b

[Xi Yi

ao 21

+ =

=

GX

(2) la log

approssimazione

POTENZA di Rendo

MODELLO funz usando

lineare

.

y(X) funz

: = . . eny ena benx

+

=

Y

Yi aX

en(a)

Xi

en(yil en(xi)

Pongo b 20

do an +

=

: =

= =

= =

, , ,

b

ricavati ricavo

Una ha

de poi

si

volta an

e

ao a

=

,

INTEGRAZIONE NUMERICA:

/ è primitiva

di cui ricavare la approssimo

funz possibile lo

I Esistono non

f(x) da

= . ex) sommatoria

integraz approssima

Una l'integrale

numerica mediante

di

formula una

dx

.

"ajf(x

da

data )

i

j 0

=

Formula dei trapezi:

(1)

Consideriamo la retta che interpola la funzione negli estremi dell’intervallo di integrazione. Per sem