Calcolo numerico

Calcolo Numerico - Teoria

Quadratura Numerica

I = ∫_a^b f(x) ω(x) dx

• I finito

con funzione peso ω(x) : ω > 0 * se ω se mette 1, fuori dall'integrale

• ω ∈ C⁰ [a,b]

• se voglio togliere il peso

∫_a^b f(x) ω(x) dx ≈ ∫_a^b f₂(x) dx

con f₂(x) = f(x) ω(x)

• se voglio aggiungere il peso

∫_a^b f(x) dx ≈ ∫_a^b f₂(x) ω(x) dx

con f₂(x) = f(x) / ω(x)

Spesso non è possibile calcolare la primitiva di f(x)

si cerca la migliore approssimazione

I_n = ∑_i=0ⁿ A_i⁽ⁿ⁾ f(x_i)

A_i⁽ⁿ⁾ pesi

Formule interpolatorie polinomiali

• f(x) ≈ P_n(x) ∈ Ω_n t.c. il polinomio int. in n+1 nodi

• I - I_n errore di interpolazione = R_n(f) : resto della formula di quadrature

• divisione in n parti e [a,b]

• con n+1 nodi a piacere → formule di qu. Lagrange

• con n+1 nodi equidistanti (passo h) → form. qu. Newton Cotes

• elementari (non stabili , non convergenti grado 0,1,2,3)

• composte (stabili, convergenti, buon risultati)

f(x) = P_n(x) + E_n(x)

∫_a^b f(x) ω(x) dx ≈ ∫_a^b P_n(x) ω(x) dx + ∫_a^b E_n(x) ω(x) dx

= I_n + R_n

T^EQ: (definizione formale dei gradi di precisione di una formula)

Condizione necessaria e sufficente affinché R_n(f) = 0 è che f_α = f con α

ovvero ∫_a^b p_α(x) ω(x) dx = ∑_i=0ⁿ A_i⁽ⁿ⁾ p_α(x_i) ∀ β ∈ P_n

Se R_n(t) = 0 t∈Ω t f(x) e ω ∈ [a,b] ∫_a^b p_α(x) ω(x) dx = ∑_i=0ⁿ A_i⁽ⁿ⁾ p(x_i) ∀ α ∈ P_k

CALCOLO NUMERICO - TEORIA

QUADRATURA NUMERICA

I = ∫_a^bf(x)ω(x)dx     ω(x) finito

ω(x) funzione peso

     -> ω(x) > 0 * se ^b       a_a si mette 1 f(u) d'indefinito

•     h
  • con ω(x) =_a1 l'equale togliere u peso

∫_a^bf(x)dx ∼ ∫_a^bf₀(x)ω(x)dx     con f₀() = f_cxx()ω(x)

    -> _a vuole aggiungere un peso

∫_a^bf(x)dx ∼ ∫_a^bf₂(x)ω(x)dx     con f₂(x) = f(x) / ω(x)

spesso non ϵ possible calcolare la primitiva du f(x)

G trovare la migliorce approssimazione

I_n = Σⁿ_oA_i⁽ⁿ⁾f(x_i)   A_i⁽ⁿ⁾ pesi   formule uiterpalotoria polinomiade

• f(x) ≈ P_n(x) ϵ G_n t.c. Π polinomio uitterica f(x) ni n_i indu
• I- In l'errore du iditerpolazione = R_n(f) | resto della formula du quordature
•     .duruone un parti e (a, b)
•     G n+1 nodi du piacere → formule di qu. Lagrange
•     G n+1 nodu equicustrum (passoh1) → form. qu. Newton Cotes
  • elementari (non stabili - non convergenti grado 0,1,2
  • composite (stabili -convergenti buon risultati)

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b P_n(x) dx + ∫_a^b [f(x) - P_n()X] dx   = ∫_a^b E_n(x) dx   = I_n + R_n

TEO:

(Deferiuzione formale dei giaodi du precisone di una formula) produzione maecesaria e sufficente affinchè R(n) = 0 che f(x) = Eрун ^b алмумио

ȼ_a)∫^b (ω(x) dx ȇ ∫_o^k ͸ⁿ_o Aⁱ (p^..._k) Tyi Β ϵ R_n

se R_n (t) = 0 таогтрьчеο in f(x) ϵ i.e ∫_a^b P_n(x) dx = Σ^v_i Αⁱ P(&#...;p;) x i β o Еx

Calcolo dei pesi, momenti

m_i = ∫_a^b w(x)xⁱdx i=0...n → sistema nxn eapparam A_j^(m)n+1 incognite{ m₀ A₀^(m) ... + A_n^(m) = m₀ }{ m₁ x₀... + A_n^(m)x_n = m₁ } x → la matrice di Vandermode{ m_n x_{0ⁿ... + An^(m)xnⁿ = mn } x' → G malcondizzionato}

Polinomio

(Nella pratica si usano altri metodi)

Formula di Lagrange

n+1 nodi distanti ε (a,b) e relativa f(x) i=0...n + E_nf(x) = Σ f(x_i) L_i(x) + E_n∫_a^b f(x)α_ndx = ∫_a^b Σ f(x_i)αL_iαn dx + ∫_a^b E_nααn dx* = 1 / ∫_a^b f(x_i) L_i(x)ααn dx + P_n(εα) = I_n+ P_n∫_a^b α_nα dx = A⁽ⁿ⁾ P_esi

Formule di Newton Cotes elementari

(Non stabile non converente)

• (a,b) n part n+1 nodi x₀ = x₀ b=x_nx_i = a+i ∗h h=b-a/n
• a,b n+2part n+1 nodi x₀ a+th t = x_n = b−h = a + (n+1) ∗ hx_i = a + (i+1)h h = b−a/n+2

A_i^(m) = h (i) (n−i) | ∏ (t−k) αt t = x−a/h | 0i(n−i)! 0 k≠1

Numeri di Cotes C_i = A_i^(m) = (−1)ⁿ⁻ⁱ ∫₀¹ ∏ (t−k) αt/ b−a / = h i (n−i)! 0 k ≠ i

i=0...n

n=0

formula aperta del rettangolo

x₀ = a + b-a/2

base = b-a altezza = f(x₀)

I = I₀ + R₀ I₀ = (b-a)f(x₀) precisione = 1

n=1

formula chiusa del trapezio

precisione = 1

base = b-a T = b-a/2 (f(x₀) + f(x₁)) + R₁(f)

n=2

formula chiusa di Simpson

precisione = 3

approssimazione con una curva

T = b-a/6 f(x₀) + 4f(a+b/2) - f(x₁) + R₂(f)

Regola di Simpson

errore con n pari (nodi dispari)

R_n(f) = ^hn+2/_(n+2)! f^m(ξ) ^∫ t²(t-1) ··· (t-n) dt ξ ∈ [a,b]

errore con n dispari (nodi pari)

R_n(f) = ^hn+2/_(n+1)! f^m(ξ) ^∫ t²(t-n) ··· (t-n) dt ξ ∈ [a,b]

Formula di Newton-cotes composite

dividere l'intervallo (a,b) in m intervalli (chiusi oppure aperti)

ed integrazione separata → ∫ba f(x)dx = ∫x1x0 f(x)dx + ... + ∫xnxm-1 f(x)dx

applicati i precedenti metodi ai singoli integrali (note)

** non c'è alcun beneficio (ai fini del risultato) nello scegliere i nodi

della discretizzazione equispaziati ma è comodo computazionalmente h = b-a/m

formula del trapezio (composta) (n=1)

I = ^h/₂ f(x₀) + 2 ∑^m-1_i=1 f(x_i) + f(b)

I(f) = T(h) + R(f)

R(f) = -^(b-a)3/_12m² f"(ξ)

R(f) ≤ ^(b-a)3/_12m² max f'(ξ)

ξ ∈ (a,b)

Tecnica del raddoppio

m₀ → h₀ = 2h₀ → m_i+1 = 2m_i

h₀ = h₁ = ^h₀/₂ → h_i+1 = ^h_i/₂

Formula convergente e stabile

perche per n → ∞ R(f)=0

Formula di Cavalieri Simpson (n=2)

n nodi equidistanti m suddivisioni m pari

ln = b-a/m

formula convergente e stabile perche per m -> ∞ -> R(a) -> 0

Metodo di Romberg

(Le successioni convergono lentamente) accelera la convergenza del met del trapezio composto siano dati n+1 passi

• T(hn)
• T(hn)

polinomio interpolatore con Neville Aitken

Approssimazioni

di una funzione f(x) non abbile allo studio ottanese un accordo funzione g(x) che descriva al meglio il comportamento di f(x) in un intervallo finito o infinito.

• classe di funzioni g(x) polinomiale di grado n
• criteri di scelta:
  • interpolazione
  • minimi quadrati (migliore approssimazione uniforme)
• polinomi a tratti
• polinomi trigonometrici
• frazioni razionali
• frazioni esponenziali

→ interpolazione polinomiale (più semplice ma non sempre migliore) f(x) nota in m+1 nodi (--> grado pol di più n) per cui è impone che per passi

g(x) = P_n(x) => P_n(c_i) = f_i TEO: P_n è unico se gli m+1 nodi sono distinti

Forma di Lagrange

L_j^(m)(x) = Prod ^m(x-x_i) j=0 x_j-x_i

L_i(x) = d_ij = 1 se i=j 0 se i≠j

P_n(x) = Σ_j=0^m f(x_j) L_j^(m)(x)

* aggiungendo un nodo si rifanno tutti...

Algoritmo di Neville Aitken

siano dati n+1 nodi anche discontinui ed i relativi valori f(x_i) T_(x) f interpolata x = x_i (..._ik)

P_n(x) = T_m(x) è un'unica interpol la x_o - x_n schema triangolare

X₀ T₍₀₎(x) = f(x_o) ... T₍₂₎(x) ... T_(n)(x) = P_n(x) X₁ T₍₀₎(x) = f(x₁) .... T₍₂₎ X_n .... T₍₀₎

X_i+1+1 - X_i T_(i+k)^1(i-k+1)(x) - X

T_{(i+1)⁽¹⁾(x) = Xi+1⁽¹⁾}

* aggiungendo 1 nodo i conti solo sulla diagonale ascendente

(

senza necessità di modificare i calcoli

* FORMA di NEWTON m+1 nodi

Pn(x) = Co + S Ci n

i=1 i=0

Base di Newton 1 x-k0 (x-x1) (x-xn)

* polinomi di grado elevato oscillano > approssim

* aggiungendo un nodo valutate il nuovo G(n)

* DIFFERENZE DIVISE (calcolo dei coefficienti)

c1 = f[x0,

ORDINE

0 f(xi) = f(x0)

1 f(xi, xj) = f(xi) - f(xj)

xi - xj

n f(x0,...xn) f(x0,...xn f(x0,...xn)

x0=x1

* NON è importante l'ordine dei nodi

0 1 ... n

x0 f(x0) - f(xi,xn) - f(x0,...xn)

x1 f(x1)

! f(xn-i)

aggiungendo un nodo si

diagonale

Co = f(x0)

Cn = f(x0 ... xn)

1a diag discendente costante

* DIFFERENZE FINITE nodi equispaziati > non sempre applicabile

x1 = x0 + ih i=0 ... n

OPERATORE

f(x) = f(x+h) - f(x) diff in avanti

f(x) = f(x) - f(x-h) diff all'indietro

f(x) = f(x+h/2) - f(x-h/2) diff centrali

mi f(x) = 1 f(x+h/2) + f(x-h/2)) diff medie