Calcolo numerico

Calcolo Numerico I - Teoria

Quadratura Numerica

I = ∫_a^b f(x)ω(x)dx (a/b) finito

con funzione peso ω(x) > 0

• * se ω = 0 si mette -1 fuori dall'integrale

ω([a,b]) = ∫_a^b ω(x)dx

- se ω(x) = 1 e voglio togliere il peso

∫_a^b f(x)ω(x)dx = ∫_a^b f(x)dx con f(x) = f(x)ω(x)

- se voglio aggiungere il peso

∫_a^b f(x)dx ~ ∫_a^b f(x)ω(x)dx con f₂(x) =

freq = freq

w(x)

spesso non è possibile calcolare la primitiva di f(x) → trovare la migliore approssimazione

I_n = ∑_i=0ⁿ A_i(⁶) F(x_i) (A_i^(⁶)) pesi) formule interpolatorie polinomiali

• f(x) ≈ P_n(X) ∈ P_α t.c. il polinomio interpolatore f(x) in n+1 nodi
• I - I_n = errore da interpolazione = R_n(t): resto della formula di quadratura
• divisione in n parti ∈ [a,b]

G n+1 nodi a piacere → formule di quadratura Lagrange

G n+1 nodi equispaziati (passo h) → form. quadr. Neutra Cotes

elementari (non stabili, non convergono grado 0,1,2,3)

composite (stabili, convergenti, buon risultato)

f(x) = P_n(X) + E_n(X)

∫_a^b f(x)ω(x)dx = ∫_a^b P_nω(x)dx + ∫_a^b E_nω(x)dx

= I_n + R_n

Teo: Definizione formale del grado di precisione di una formula

condizione necessaria e sufficiente: ^R_nG = 0 ⇔ che f(x) = E_n(x)

ovvero ∫_a^b P_nω(x)dx - ∑_i=0^s Ωⁱ p_i(x_i) ∀ β ∈ P_n

se R_n(x) = 0 ∀ x,t allora f(x) ∈ f(x)ω = ∫_a^b P_xω(x)dx = ∑_i=0^s A_i^(⁶) P_x(x_i) ∀ p β

Calcolo dei Pesi e Momenti

m⁽ⁱ⁾ = ∫_a^b xⁱ ω(x) dx i=0,...,n

A^(i,n) x = m_i

x⁰ ... In matrici di Vandermonde

x¹ ... o Metodo classico

x² ... Nella pratica si usano altri metodi

Formula di Lagrange

f(x) = ∑_i≠j f(x_i) L_i(x) ∈ [a,b] e calcola f(a_j) i=0,...,n

∫_a^b f(x) ω(x) dx = ∫_a^b f_a,b (x) ω(x) dx + ∫_a^b E_n(x) ω(x) dx

= ∑_i=0ⁿ f(a_i) L_i(x) ω(x) dx + ∫_a^b P_m(x) dx = I_n + P_m

∫_a^b xⁱ ω(x) dx = A_i^(i,n) Pesi

Formule di Newton-Cotes Elementari

(Non stabili, non convergenti)

• Formule Chiuse (a,b) n Punti x₀ = a x_n = b

x_i = a + i h h = b-a/n

• Formule Aperte a,b (n+2 Punti n+1 Nodi) x₀ = 3th x_n = b-h

x_i = a + i(n+1) h h = b-a/n+2

A_i^(i,n) = h ((-1)^n-i) ∫₀ⁿ ∏_k≠iⁿ (t-k) dt

t = x-a/h

Natura di Cotes = A_i^(i,n) = (-1)^n-i ∫_a^b P_k≠i(x)(x-i) dt

* aggiungendo un nodo si fanno i conti solo sulla diagonale ascendente (ultimo)

senza necessità di modificare i valori già calcolati

* FORMA DI NEWTON (n nodi e valori f(x_i))

P_n(x) = c₀ + Σ c_i (x-x_i)

Base di Newton (x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n-1)

* i polinomi di grado elevato oscillano => approssimano male f

* aggiungendo un nodo basta valutare il nuovo f_n+1

* DIFFERENZE DIVISE (calcolo dei coefficienti)

c_i= f[x₀,...,x_i]

P_n(x) = f(x₀) + Σⁿ_i=1 f[x₀,..,x_i] Π(x-x_i)

P_n(x) = c₀ + c₁(x-x₀) + ... + c_n(x-x₀)...(x-x_n-1)

* NON è importante l'ordine dei nodi

ORDINE

• 0 f(x_i) = f(a₀)

• 1 f(x_i, x_j) = (f(x_i) - f(x_j)) / (x_j-x_i)

• n f(x₀,...,x_n) = (f(x₀,..,x_n-1) - f(x₁,..,x_n)) / (x₀-x_n)

* aggiungendo un nodo si

x₀ f(x₀) - f[x₁, ..., x_n]

• x₁ f(x_n)

f(x_n,x_n)

Differenze FINITE nodi equispaziati > non sempre applicabile

x_i = x₀ + ih (i=0...n)

OPERATORI

• Δf(x) = f(x+h) - f(x) diff in avanti
• ▽f(x) = f(x) - f(x-h) diff all'indietro
• δf(x) = f(x+h/2) - f(x-h/2) diff centrali
• μf(x) = 1/2[f(x+h/2) + f(x-h/2)] diff medie