Appunti Geometria analitica

ESEMPIO SONO

2,3 UNA

e

DIM CHE -1,5 1,0 1

: ,

, ,

, >

IR base

OTTENGO

IN una

VERIFICO

→ COSI

veicoli ESSENDO

ESSENDO ed

3 1123

/ 1)

is

0 una

DIP di

psase

sono

solo

non →

l' n

- →

det .

2+15+4 17--10 .

0 =

-

=

1 Dip

o → SONO CW

=D → . .

3 4

2 POSSONO

SI

|

4) dei

RIGHE

SCAMBIANDO CAMBIA

→ SEGNO

Colonne

2

loro 2

Tra O "

"" e

"

5) del CAMBIA

AGGIUNGE

SI

AD NON

SE COMBINAZIONE

RIGA →

Altre

lineare delle

COLONNA

UNA UNA

O FRA LORO . .

DELLA .

DIAGONALE

DA DIFUORI

O

COSTITUITA SOLI AL

→

] del

( È

e- ) PRINCIPALE

DIAGONALE

DIAGONALE

SE

SE

6 la DEGLI

TRIANGOLARE sulla

Particolare

matrice ELEMENTI

Prodotto

→

in = ;

,

tu ( )

3 2 -3 date

a LEI 12

→

?

=

TRIANG .

INFERIORE

DET. DI UNA MATRICE 4×4 O DI ORDINE SUPERIORE COSÌ

] ]

] Devo A

MATRICE

UNA

ottenere

PRENDENDO DIAGONALE

cercare

4 avere

5 6 DA

SCALINI

di sulla

;

; , ,

det '

valore E

O SARA

un =/ -1-0

il

1- 1 E Immediato

2×2

CONCLUSIONE →

✗

→

\

\ 3×3 SARRUS

→ " "

4×4 GAUSS COLONNE

ALLA

"

" MOSSE

(

o > su

Peace RIGHE

astuti O

→ A O

di

se SONO

ci

RIGHE COLONNE

/ >

0

PIENE DI

RANGO E TEOREMA DEGLI ORLATI RANGO

& )

(a) (

RIGHE

DI E

MASSIMO luiu

INDIP

NUMERO LW

colonne

o ma

= min

o

→

.

. a

µ luau

se )

KIA)

✓ Un

=

matrice " RANGO massimo

HA

rk

( =D

Nulla

) →

32

32 .

A- 14 1

ORLATI °

→ 3×4 INTERSECARE

→

i (a) RIGHE

Di PERCHÉ

1,2 e-

3

ORDINE

ci minori abbiamo a

NON DA

sono NO

→

, .

139

2- con 1×1

una sottotente

continua SOTLOM

=

→ »

' →

o

=

→ >

. data .

def

RANGO ↳

OTTIENE

SI FACENDO

IL della

IL 3×3 , caga

× »

→

⇐ ☐

→ ,

=/ -1=3 ,

Zy

a-

1- -1=1

1 2g

✗ →

ALGORITMO DI GAUSS PRENDE

→ SI COSÌ DA

MATRICE

LA A

UNA SCALINI

TRASFORMA MATRICE

e si

la IN ,

" " PIVOT

DI

rga

VALORI

DIAGONALE DETTI

avere SONO

DIAGONALE PIVOT

=/ E

sulla NUMERO

NUMERI e il

I SULLA

0 .

METODO DI GAUSS E SISTEMI LINEARI [ =]

A

Espy DOPO

INCOMPLETA VALORI

SENZA

MATRICE

X =

neo

+

y 2-

- ①

- [ [

( %

:)

i. !

2×+2-2=8 !

} (

!

! completa

Matrice

→ < = .

→ =

→ → W=7

3×-34-22-+4

⑦ ③

②

" " TRASFORMO MATRICE SCALWI RIPRISTINO LE INCOGNITE

C

TROVO C UNA →

A

IN

→ ( 1)

1- I -1 ° {

7) ✗ |

tw

2- o 1

Y ,

✗

→

= ✗

- =

- =

OIT

4 8

-2

2

O 24+42--20=8 " → ;-]

→

i

o ,

o 7 2- =3

=3

2- 2-

→

tuo

-4 =

, W 4

-4 ,

a-

= →

-

PERÒ QUANDO SCALINI

VIENE TRASFORMATA

LA AVREMO

MATRICE IN :

, Dove VARIABILE -7 e

una

tetto Trovo

ROUCHÉ-CAPELLI SOLUZIONI

le

" " È "

PRESO a ED lineare

SISTEMA

e UN . &

soluzioni

SOCÙZIONE (a) cglat-rg.cc

(c) rgcc )

rgcal

to ☒

u soluzioni

1 Ty >

se

SE van #

se

rg =

= =

↳ U INCOGNITE

n

yn =

- RANGO

✓

=

MATRICE INVERSA GAUSS-JORDAN

1- data

È

A- INVERTIBILE se -70

SE E solo

= .

l'

Per METODI

SONO 2 GAUSS

ci JORDAN

calcolare inversa → -

\

)

39 data

GAUSS complementi

JORDAN A- ALGEBRICI

1- =/ O

- =

=

;

→ -

01 1 INVERTIBILE

→ [ ]

LA

AGGIUNGO '

A IDENTITA

MATRICE RESTO

Diagonale

AD 1 o

- , .

• DOVE

SCALINI

TRASFORMO DOBBIAMO DIAGONALE

A OTTENERE E IL

LA

A TUTTI 1

UNA MATRICE

IN , ?

RESTO =D '

IDENTITÀ DIVENTA

la

COMPORTA Diventa matrice AGGIUNTA

A

CIÒ A-

CHE E IDENTITA

tutrice

LA

. "

data

)

Caij

A

ALGEBRICI Quindi ]

COMPLEMENTI a

→ con →

: = i + >

µ

1=-1 i t

! I. ⑦

È star

1) 1-

! !! '

a- > '

aij C-

Dove ↳ ☐ COMPLEMENTI

costruisco CON

LA MATRICE

-

→

= = →

Èin /

i

1

data Anahi senza

J PARI ALGEBRICI Matrice

/

1+1

+ a

e

; × : a)

c-

11 = . 5=1

-1=1 E

② T

(A)

TRASPOSTA

FACCIO LA :

PRODOTTO SCALARE +

③ 1- (a)

0,1¥

MOLTIPLICO INVERSA

MATRICE

a-

: =

Ù È

ÈÈ

E EI Ù

(

DATI (

VETTORI / CHE

2 prodotto

%) scalare NOTAZIONE

SI LA

INDICA

Y loro

Il CON >

<

o :

×

×

= = -

, , ,

,

, ,

Ù

Ù NUMERO Reale

× Yz

✗ y

+

. =

= a

- -

, , a 90°

✗

| <

> o →

TÈ

IÙI Ù§<

i.

, Dove

live.IS 900

at a

a

= o >

- →

[ .

[ 90° Vettori 1-

✗

o →

→ =

=

| / | UNI

TÈ È

io Nullo

IL

DEI vettori

2

. > = ,

tutt

> (

IÙ -1 )

cosa

coso senor

seno

+

-

= , ,

>

/ ANGOLO

IÙI

IÙI IÙIIWI costo

-0,1

losco compreso

-

- . =

,

= / Fifa

)

WTIWT

F.

Da oeecos

cosa a-

→

=

APPLICAZIONI LINEARI

ETVÌÉPAZIO Ivi

V Yul

vettoriale V2

vettori

n

con , -

,

↳ }

Mick

4 « Wu

↳ a c

' . . . ,

FISSIAMO Base

UNA { Wtf

VI I È se

VÌ

Ù

} }

D= e e

= , .

.

, .

, . . , .

.

, le

" f

È Ù

(E)

f-

UNA ✓ IMMAGINE

FUNZIONE W DI

Dove =

→

:

: =

PROPRIETÀ DI

INFATTI QUANDO CHIEDONO

CI

f È

VERIFICARE UN' APPLICAZIONE

ftp.tvz/=f(ji)tf(

① V-vt.ua

f EV

cioè

essere

Deve ADDITIVA →

, BISOGNA

lineare avere 2

le

,

② condizioni

fat verificare

f )

JEV )

Ù

f

V-x-c.IR /

✗

Deve cioè

essere OMOGENEA - =

, ,

È t

E- f I viene TRASFORMATO

vettore IMMAGINE

IN

OWNI CHE =

j

e -

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<

u

« AGINE Di

contanti

→

RISPETTO

(f) W alle

V VEW

B

BASI

MATRICE APP Di

AD UNA (

ASSOCIATA CON

in →

. DOMINO Lodomiria

la

INGRESSO USCITA

Eien

i 1-

con

VETIORE colonna =

ÓATO B-

Fi )

f ( RISPETTO

Dalle COORDINATE

EQUAZ. DELL’APPLICAZIONE LINEARE RISPETTO LE BASI

es.IR?slR3B--

AI È

/ 4

è

È =/ è

bè

B- B-

f- f

a Be

Rispetto

MATRICE associata

- ,

, ,

↳ MATRICE f

di (

[ ] )

(

FORMA XIY

.int 24,34

✗

:

link 1-

MATRICE y

COLONNA ×

DI

✗ = -

,

. .

. )

colonna Fg

MATRICIALE

QUALUNQUE

UN 2

(

VETTORE FTÉI

#

( Rispetto

Y V )

Y Yai B.

Yu (

:-( )

= A

(

/

. .

.

,

, ) 0,1 za

1.

1,0 =

→

tiri =

) B-

Rispetto

Di (èz

f

} )

☒ )

EQUAZIONI ± ( (

il

f 2,3

× ±

✗

→ s

xu o

= a -

=

, - , ,

.

4- ±

± yu

y

= yz

,

NUCLEO E IMMAGINE Vettore

→ NULLO )

/ (

Kerf / ÈV fat ( fiù

) ÒW )

Icuf

IMMAGINE

NUCLEO fata

flùz

:)

: :

= - = ,

,

_ ? in

È

/ vi.

f )

W Be

✓ →

: .

, . ,

)

) (

( m

n lluntcuficga ESEMPIO

DIM IMMAGINE coincide RANGO

con il →

. duukert-dunv-dmt-mf-dlulkerftduut-uf-dcuk-uf.IR

> RZ

Nucleo

DIM = →

. OTTIENE

FINI SI .

. . ]

[ 11,0101 (

f- )

111

- -

f cgaedmt-mf-dmvyowerokevf.IO/ [ ]

(

f-

E

iniettiva :(

se se

solo 1,01

→ o / µ

, ,

dun-t-ucf-rga-d.mu

f 0,0111=4,11

[

(

f

suriettiva se

→ e Soco

se

, In

② > 1122

f

MATRICE AD BASI

associata ALLE DI IR

Rispetto DI

CANONICHE E } '

( È

¥ IEIÀ

%) è ✗ ✗

) ) Ytz

☐ +

'

fini =

:(

Clay yi

Fissiamo

= ×

a- →

= ,

,

, ' -2

✗ ✗ +

=

⑤ K⑤

TROVARE e

BASE

UNA Di dmt-mf-zya.az

flqoiD-T-mf-KI.it #

diluite

[ (

f -110 (

( :o)

Imf 110,01 1 →

;

- ,

,

,

_ , {

)

Bttinf ( /

(

1) 1-

1. io

② =

Dire e- sveltina

f se

e e

intenta

se ÒR

{

? {

È Kerf

R

duu

Z