Prove svolte ed esercizi Elementi di meccanica

R

congiunge il punto A con il punto B(4, 8). Applicando il metodo punta-coda individuare

il vettore + e determinare le sue coordinate nel sistema (O, {i, .

u w j})

12

2 sono dati i vettori = 2i + 3j e = 6i + calcolare + ed individuarlo con il

ii. In v z j, v z

R

metodo del parallelogramma.

3 il sistema di riferimento cartesiano ortonormale (0, {i,

Consideriamo in j, k})

Esercizio 4 R

e i vettori di componenti 1, 0) e 0, 2).

u(2, w(0,

i. Determinare le componenti del vettore ×

u w.

ii. Calcolare il modulo di |u × sia attraverso la definizione di modulo di un vettore che

w|

attraverso la definizione del modulo di un prodotto vettoriale [determinare attraverso la

].

rappresentazione grafica l’angolo tra i vettori e . .

u w.

3 sono assegnati i vettori 3, 0), 1, 1), 2, 1).

In u(1, w(0, z(1,

Esercizio 5 R

i. Calcolare il prodotto misto × ·

u w z.

ii. Calcolare il doppio prodotto vettoriale (u × ×

w) z.

Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori (0, 0, 3),

Esercizio 6

(2, 0, 0) e (1, 1, 0). 3

Scrivere le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane della retta r in

Esercizio 7 R

passante per il punto P (5, −6, 2) e avente come direzione quella del vettore = 3i + 12j − 8k.

v

3

Scrivere l’equazione del piano π in passante per il punto P (5, 0, 2) e perpen-

Esercizio 8 R

dicolare al vettore 0, 1).

v(−1, 3 verificare che non sono allineati e

Dati i punti A(1, 0, 0), B(1, 2, 3), C(0, 1, 4) in

Esercizio 9 R

scrivere l’equazione del piano che li contiene. [Suggerimento: (A−C)×(B−C)

essendo il vettore

π (A − C) × (B − C) · (P − C) = 0 P (x, y, z)

ortogonale al piano allora deve essere dove è un

π. 3 × 3

generico punto del piano Quindi si può usare lo sviluppo della matrice dei tre vettori

(A − C), (B − C), (P − C).]

Elementi di Meccanica – a.a. 2023-2024 – Docente: Anna Abbatiello

Scheda di esercizi N.2

E

Calcolo vettoriale in 3

Calcolare il momento rispetto al punto P (−10, 0) di una forza F di modulo 20N

Esercizio 1

applicata nel punto O(0, 0), origine del riferimento Oxy del piano, inclinata rispetto all’asse

orizzontale x di un angolo α = π/6. Dire inoltre qual è il verso di M.

Sono dati i vettori applicati

Esercizio 2 = + 2k applicato in P (1, 0, 1),

−

i j

v 1 1

= 2i + applicato in P (0, 0, 1).

− j k

v 2 2 (1, 0, 1).

i. Calcolare il momento risultante rispetto al punto O(0, 0, 0) e poi rispetto al punto O 0

ii. Verificare la legge di variazione del momento.

iii. Calcolare l’invariante scalare.

iv. Determinare l’equazione dell’asse centrale.

Sono dati i vettori applicati

Esercizio 3 = 3i applicato in P (−1, 0),

−

u j

1 1

= applicato in P (0, 1).

−2i − j

u 2 2

i. Calcolare il momento risultante rispetto al punto O(0, 0, 0) e poi rispetto al punto O (1, 0, 1).

0

ii. Verificare la legge di variazione del momento.

iii. Calcolare l’invariante scalare.

iv. Determinare l’equazione dell’asse centrale.

Fornire e rappresentare graficamente almeno due esempi di sistemi di vettori

Esercizio 4

applicati equilibrati.

Verificare l’equivalenza tra il sistema S di vettori applicati

Esercizio 5 = 2i applicato in P (0, 0, 1),

v 1 1

= applicato in P (1, 0, 0),

−j

v 2 2

= 3k applicato in P (0, 1, 0),

v 3 3

ed il sistema S costituito dai vettori applicati

0 = + applicato in Q (−1, 0, 0),

u i j

1 1

= + 2k applicato in Q (0, 0, 2),

i

u

2 2

= + applicato in Q (0, 3, 0).

−2j k

u

3 3

Dato il sistema di vettori applicati S:

Esercizio 6 = 2j applicato in P (0, 2, 0),

v 1 1

= + applicato in P (0, 1, 0),

−j k

v 2 2

= 4i applicato in P (4, 0, 0),

v 3 3

i. Determinare l’equazione dell’asse centrale.

ii. Fissare un punto P appartenente all’asse centrale e calcolare il momento risultante rispetto

a P . equivalente ad S. [Suggerimento:

iii. Determinare un sistema S 0 aggiungere un sistema

equivalente a zero.]

Dato il sistema di vettori applicati S:

Esercizio 7 = applicato in A (1, 0, 0),

v i

1 1

= 2j applicato in A (0, 1, 0),

v 2 2

= + applicato in A (0, 0, 1),

−j k

v 3 3

determinare quale dei seguenti punti appartiene all’asse centrale

1 2 1 1

1 4 2 2

A 0, , B 1, , C 0, , D

, , , , , 0 .

3 3 3 3 3 3 3 3

Sia dato il sistema di vettori applicati paralleli

Esercizio 8 = 2i 3j applicato in A (1,

− −2),

v 1 1

= + 6j applicato in A (−2, 1).

−4i

v 2 2

i. Determinare il centro con l’uso della definizione.

ii. Ruotare il sistema di un angolo π/3 e calcolare il centro come intersezione degli assi

.

centrali relativi ad S ed al sistema ruotato S 0

Sia dato il sistema di vettori applicati

Esercizio 9 = (1, 0) applicato in A (1, 0, 1),

−1,

v 1 1

= (0, 1, applicato in A (0, 1, 1),

−1)

v 2 2

= (−1, 0, 1) applicato in A (1, 1, 0),

v 3 3

i. Determinare il vettore risultante.

ii. Scrivere la legge di variazione dei momenti al variare del polo. Cosa si può dedurre?

Sia dato il sistema di vettori applicati paralleli

Esercizio 10 = (α, 0, 1) applicato in A (1, α, 0),

v 1 1

= (0, α, 1) applicato in A (α, 0, 1),

v 2 2

= (1, 1, 0) applicato in A (0, 0, α).

v 3 3

Determinare il valore del parametro α affinchè

i. l’invariante scalare valga −1; 12 12

, , 0).

ii. l’asse centrale passi per il punto ( −

Elementi di Meccanica – a.a. 2023-2024 – Docente: Anna Abbatiello

Scheda di esercizi N.3

Geometria delle masse

Determinare il baricentro di un semicerchio omogeneo (con densità costante µ̄)

Esercizio 1

di raggio R. Determinare il baricentro di un’asta AB di lunghezza L non omogenea con

Esercizio 2

densità µ(P ) = |P − A|.

Determinare il baricentro di un’asta AB di lunghezza L non omogenea con

Esercizio 3 2 .

densità µ(P ) = |P − A|

Determiniamo il baricentro di una lamina omogenea costituita da un rettangolo

Esercizio 4

di dimensioni 2a e 2b, e un semidisco di raggio b posto al di sopra del rettangolo e tale che la

base superiore del rettangolo coincide con un diametro del semidisco. [Suggerimento: Applicare

la proprietà distributiva del baricentro.]

Determinare il baricentro di un disco omogeneo di raggio AB avente lunghezza

Esercizio 5

R privato del disco di raggio R/4 ed avente centro nel punto medio di AB. [Suggerimento:

Applicare la proprietà distributiva del baricentro al disco pieno che è unione del disco di raggio

R/4 e dell’insieme considerato per dedurre la formula inversa utile.]

Determinare il momento d’inerzia di un’asta omogenea AB di lunghezza L

Esercizio 6

rispetto ad una retta r passante per A ed inclinata di un angolo α rispetto ad AB.

Determinare il momento d’inerzia dell’asta omogenea AB di lunghezza L, rispetto

Esercizio 7

ad una retta s, passante per il baricentro G dell’asta ed inclinata di un angolo α rispetto ad

AB. Determinare i momenti d’inerzia rispetto ai lati di un rettangolo omogeneo di

Esercizio 8

lati a e b. Determinare gli assi principali ed i momenti principali d’inerzia rispetto ad un

Esercizio 9

vertice O di un quadrato omogeneo OABC di lato l.

Determinare il momento d’inerzia rispetto ad un diametro fissato di un disco

Esercizio 10

omogeneo di raggio AB avente lunghezza R privato del disco di raggio R/2 ed avente centro

nel punto medio di AB.

Elementi di Meccanica – a.a. 2023-2024 – Docente: Anna Abbatiello

Scheda di esercizi N.4

Cinematica

In un certo istante le posizioni dei punti A e B nel piano Oxy sono date da

Esercizio 1.

A(2, −1) e B(−1, 0) e le velocità sono = −3i + 2j e = αi + Determinare

v v j.

A B

1. il parametro α affinchè l’atto di moto sia rigido;

2. la velocità di rotazione ω e verificare che è un atto di moto rotatorio;

3. l’equazione dell’asse di istantanea rotazione e le coordinate del centro di istantanea

rotazione;

4. verificare graficamente il Teorema di Chasles.

Determinare velocità e accelerazione di un punto materiale mobile lungo un’elica

Esercizio 2.

cilindrica di raggio R e passo p. Inoltre determinare la terna intrinseca formata dai versori

{t, ×

n, t n}. La composizione di due stati cinetici o atti di moto consiste nel sommare punto

Esercizio 3.

per punto le velocità relative agli stati cinetici componenti. Verificare che due stati cinetici di

rotazione con assi istantanei paralleli e velocità angolari uguali e di verso opposto si compongono

in uno stato cinetico di traslazione di traslazione in direzione ortogonale al piano degli assi.

Determinare la traiettoria di un punto P che si muove su un piano con velocità

Esercizio 4.

costante in modulo e con velocità radiale rispetto ad un punto fisso O pure costante in modulo.

[Suggerimento: (%, θ)

In un riferimento polare determinare l’equazione polare della traiettoria

% = %(θ).] x secondo le equazioni cartesiane

Un punto P si muove sul piano Ox

Esercizio 5. 1 2

x = Ce ,

−pt

1 pt

= Ce , with C, p > 0.

x 2

Determinare la traiettoria, l’accelerazione radiale e quella trasversa. [Suggerimento: Per deter-

2

· x = C

x .]

minare la traiettoria osservare che 1 2

Determinare base e rulletta di un’asta AB di lunghezza L avente gli estremi A

Esercizio 6.

e B scorrevoli su due guide formanti un angolo 0 < α < π/2.

Determinare base e rulletta di una asta ABD fatta ad L ovvero dall’unione di

Esercizio 7.

due aste rigide AB di lunghezza L e BD di lunghezza L connesse in B. L’asta ABD è tale

1 2

che il vertice A può scorrere sull’asse Ox mentre l’asta BD è vincolata a passare per O origine

di un sistema di riferimento fisso Oxy. L’asta AB forma un angolo OAB detto α con l’asse

Ox. [Suggerimento: α.]

Il sistema ha un grado di libertà ovvero l’angolo

Nel riferimento cartesiano Oxyz si consideri un punto materiale P che si muove

Esercizio 8

con velocità costante lungo una retta r

u

appartenente al piano Oxy e passante per O;

I uniformemente rotante attorno all’asse z con velocità angolare ω = ωk, con modulo ω > 0.

I

Se il punto P occupa inizialmente l