Prove svolte di Dinamica delle strutture

RISOLUZIONE DI VARIE TIPOLOGIE DI ESERCIZI

a cura di Ignazio Celardi

Esercizi di

Dinamica delle Strutture

Docente Alessandro Marzani

SCHEMI SEMPLICI

CA = qL² / 2

φ_B = qL³ / 6EJ

f_max = qL⁴ / 8EJ

CA = FL

φ_B = FL / 2EJ

f_max = FL³ / 3EJ

M = qL² / 2

φ_B = qL³ / 24EJ

f_max = qL⁴ / 384EJ

φ_B = ML / 6EJ

f_max = ML² / 2EJ

φ_B = qL³ / 8EJ

f_max = 11qL⁴ / 120 EJ

φ_B = FL² / 32EJ

f_max = FL / 107EJ

φ_B = Fa³ / (3EJ) (b + L)

f_max = Fa³(3b + L) / 12EJ(a³)

DMS - Prova scritta - 9 Gennaio 2015

La trave BC ed il pendolo RS hanno entrambi massa trascurabile. Calcolare la frequenza propria di vibrazione (direzione verticale) della massa m, riducendo il sistema in figura ad un oscillatore semplice equivalente, considerando: E=200GPa, A=1 cm x 1 cm, m = 1 kg, L = 1 m e una rigidezza assiale del pendolo k_p=400 N/m.

(1 Soluzione)

conosciuto - ampiezze - giustamente

sistema in parallelo

sezione - trave - pulsazione propria - (natura) di vibrazione - costante propria - f=1/(2π) * √(k_eq/m) - 4.7746 Hz

Es. 2

Identificare la rigidezza k e la massa m dell’oscillatore semplice sapendo che:

• la frequenza propria di vibrazione dell’oscillatore è 1.2 Hz;
• la pulsazione propria dell’oscillatore con la massa M aggiunta è 5.969 rad/sec;
• la massa aggiunta M è 3 kg.

Risoluzione

f = 1/(2π)*√(k/m) = 1.2 Hz

ω_f = √(k/(m+M))

ω_f(m+M) = k = m(2πf)²

m = k/(ω_f²) - S₀₃₇₄ kg

k = 28₆,3532 N/m

Per il sistema in figura calcolare la pulsazione della forzante armonica Ω tale per cui il sistema a regime presenta uno spostamento massimo pari alla metà di quello statico.

Si consideri:

• k₁ = 4 N/m;
• k₂ = 8 N/m;
• c = 7.3 Ns/m;
• m = 5 kg;
• P₀ = 10 N.

keq = 2.6667 N/m

U_st = 3.75 m

U_st/2

Ω₂ = 0.73306 rad/s

2mω²

(40 - 4ω²)(40 - 2ω²) - 400 = 0

8ω⁴ - 240ω² + 1200 = 0

ω² = 120 ± √120² + 4(8)(1200)

ω₁² = 6.339

ω₂² = 23.6603

ω₁ = 2.51549 rad/s

ω₂ = 4.8642 rad/s

frequenza propria

frequenza propria (o naturale)

₁ = 0.40₇ Hz

₂ = 0.77462 Hz

T₁ = 2.4954 s

T₂ = 1.2948 s

pulsazione propria

Siccomme per gli autovalori di determinante H annull, allora la matrice ha rango max ... line di equazioni sono enormemente dipendenti.

Ne segue che non è possibile trovato di componenti degli autovettori in modo assoluto inde Nesso possibili se o determino la loro reposto.

^κ(&frac;[Φ₁^r]) = 0 ⇒ ^{10 - ω2}(Φ₁^r) - [^20 Φ₁r] = 0

        &sup>20    &ninsp;&sup>-20

ω₁ = (40 - 4ω₁²)(Φ₁^r) + 20Φ₂₁

pari Φ 1

e ottengo Φ 2 = 0.973206

ω₂ = (40 - 4ω₂²)(Φ₂^r) + 20Φ₂₁

pari Φ 2 = -1

e ottengo Φ 1 = 2.373206

X = [^0.873206  &sup>-2.373206]

indice altro:

mores densible contoriale

interapposto alla loro prima occorre nitrica contenuto

V_b^max = 10 + 10 = 20 N

(V_a)^max = 0 N

M₁ = G₁ × M₁ = 4 kg → modo 1 M₁ / M_T · 100 = 100%

M₂ = G₂ × M₂ = 0 kg → modo 2 M₂ / M_T · 100 = 0%

→ masse mancanti effettive

DdS - Prova scritta - 11 Dicembre 2015

1)

Calcolare la frequenza di vibrazione del telaio shear-type di figura, considerando:

• trascurabile la massa dei piattini GB e CD;
• trascurabile massa della biella GC;
• L = 4 m;
• m = 3000 kg;
• k_p = 15000 N/m;
• area trasversale della biella A = 1 x 1 cm;
• modulo elastico biella = 3e9 Pa.

Risoluzione

• k_eq1 = 2k_p + k_biella = 56516.5043 N/m
• k_biella =^EA/_2L
• m = 3000 kg
• ω_n = ¹/_2π√^k_eq1/_m = 0.6908 Hz

2)

Calcolare la pulsazione Ω della forzante tale per cui il rapporto di trasmissibilità TR=0.5. Si assuma:

• k = 4 N/m;
• m = 3 kg;
• c = 2.5 Ns/m;
• U₀ = 10 m.

Risoluzione

• TR = ¹/_ωn√(1 + (2ξTR)²)
• Ω² = 0.9377 rad/s²
• Ω² = 5.6877 rad/s²
• Ω₂ = 2.3849 rad/s

1

Calcolare la frequenza di vibrazione del telaio shear-type di figura, considerando:

• trascurabile la massa dei pilastri GB e CD;
• trascurabile massa della biella BD;
• L = 3 m;
• m = 3000 kg;
• A = 2 x 2 cm (sezione trasversale di pilastri e biella);
• E = 200E9 Pa (modulo elastico).

Risoluzione

k_eq = k_rp + k_biella = 9,030160786 N/m

fn = 1 / 2π √(k/m) = 8,93233 Hz

2

Identificare la rigidezza k e la massa m dell'oscillatore #1 sapendo che:

• la frequenza propria di vibrazione dell'oscillatore #1 è 1.2 Hz;
• la pulsazione propria dell'oscillatore #2 è 1.2 rad/sec;
• M = 3 kg.

Risoluzione

m₂ = ω₂² M = 0,108333 kg

k = 2,118771 N/m

3

Per il sistema a due gradi di libertà di figura soggetto al moto armonico impresso al supporto x_g(t) calcolare la risposta a regime considerando:

• k₁ = 4 N/m;
• k₂ = 8 N/m;
• m₁ = 5 kg;
• m₂ = 5 kg;
• x₀(t) = 3cos(3πt)