Prove esame Analisi matematica 2

R

(con densità di massa costante) vale:

A) 1

B) 3/4

C) π/2

D) 3π/2 x

Z 13 2

t log(1 + 2t ) dt è:

Esercizio 6. La serie di MacLaurin della funzione f (x) = 0

∞ n−1

(−1) 2

X 2n+13

A) x

n (2n + 13)

n=1

∞ n−1 n−1

(−1) 2

X 2n+14

B) x

n (n + 7)

n=1

∞ n−1 n

(−1) 2

X 2n+13

C) x

n (2n + 13)

n=1

∞ n−1

(−1)

X 2n+14

D) x

n (n + 7)

n=1 ∞ ∞

X X

n n

Esercizio 7. Siano a x e b x due serie di potenze con raggi di convergenza R ed R ,

n n 1 2

n=0 n=0 ∞

X n

−

rispettivamente. Se 0 < R < R < +∞, allora la serie (2a b ) x ha raggio di convergenza:

1 2 n n

n=0

A) R

1

B) R

2

R + R

1 2

C) 2

−

D) 2R R

1 2

1 1 1

p

3 2 2

∈ − ≤ ≤

Esercizio 8 (9 punti). Sia Σ = (x, y, z) : z = x + y . Calcolare il

, 0 z

R 4 4 2

flusso del rotore del campo

1

2 2

x +y 2yz, 3z,

F (x, y, z) = e x + z

2

attraverso Σ, orientata in modo che la normale formi un angolo ottuso con l’asse z.

Analisi Matematica 2 1 luglio 2015

Nome, Cognome, Matricola:

Cognome del Docente: −1)

Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata =

Versione Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es. 7

1

Esercizio 1. Sono dati: 2

⊂

– un aperto semplicemente connesso Ω R ;

1 2

→

– un campo vettoriale C e conservativo F : Ω R , F (x, y) = (F (x, y), F (x, y)).

1 2

3 2

−

Posto G(x, y) = F (x, y) + cos x , F (x, y) arctan y , quale delle seguenti affermazioni è corretta?

1 2 R · 6

A) Esiste una curva chiusa, semplice e regolare γ con sostegno in Ω tale che G dP = 0.

γ

R · 6

B) Per ogni curva chiusa, semplice e regolare γ con sostegno in Ω si ha che G dP = 0.

γ

R ·

G dP = 0.

C) Per ogni curva semplice e regolare γ con sostegno in Ω si ha che γ R ·

G dP = 0.

D) Per ogni curva chiusa, semplice e regolare γ con sostegno in Ω si ha che γ

∞

n

X X

Esercizio 2. Sia (a ) una successione reale e sia S = a . La serie a si dice convergente se

n

k k k

k=1 k=1

A) Esiste lim S .

n

n→∞

B) lim a = 0.

k

k→∞

C) La successione S ha limite finito.

n

D) La successione S è limitata.

n 1

2 2 2

{(x, ∈ | − ≤ ≤

Esercizio 3. Sia D = y) R x + (y 5) 1, x 0}. L’integrale

16 Z −

(2x y) dxdy

D

vale 64

A) + 10π

3 64

− −

B) 10π

3

1

C) + 5π

3

3

D) + 10π

2 ∞ 2n + 3 n

X n

−

Esercizio 4. L’insieme di convergenza puntuale della serie (x 3) è

3n + 2

n=1

A) (3/2, 9/2)

B) (3/2, 9/2]

C) [3/2, 9/2)

D) [3/2, 9/2]

Esercizio 5. Sia A il quadrilatero di vertici A = (1, 0), B = (2, 0), C = (2, 2), D = (1, 2). La

circuitazione del campo 5y 2 5y

−

F (x, y) = (14xe 3y + 5, 35x e + 2x + 1)

sul bordo di A orientato in senso antiorario vale

−5

A) −10

B)

C) 5

D) 10

Esercizio 6. La serie numerica ∞ (n + 2)!

X −

(n + 1)! n!

n=1

A) converge a un limite finito non nullo

B) è indeterminata

C) diverge a +∞

D) converge a zero

***Esercizio 7.

La successione di funzioni nx + 3

f (x) =

n 4

nx + 1

A) converge puntualmente su R ma non uniformemente

B) converge uniformemente su ogni intervallo [−a, a] ma non su R

C) converge uniformemente su R

D) converge puntualmente a 3 su R

Esercizio 8. (9 punti) Calcolare il flusso del campo vettoriale

1

3 7 3 3 2 3 2 2 3

−x −

F (x, y, z) = x + z , + 3y z , x y 3y z

3

uscente dal bordo dell’insieme 3 2 2

∈ | ≤ ≤ ≤ ≤

D = (x, y, z) R 3 x + y 5, 0 z 4 .

Analisi Matematica 2 16 luglio 2015

Nome, Cognome, Matricola:

Cognome del Docente: −1)

Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata =

Versione Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es. 7

1 4 3

→

Esercizio 1. Il lavoro del campo F (x, y, z) = (z, y , 2x) lungo la curva γ : [0, 1] R definita da

2

γ(t) = (t , 3, 2t), vale

A) 4/3

B) 8/3

C) 2/3

D) 0 ∞ −n

− −

n 4 e

X

Esercizio 2. La serie 2 −

n + n 1

n=0

A) è indeterminata

−∞

B) diverge a

C) converge

D) diverge a +∞

***Esercizio 3. Una delle soluzioni del sistema di equazioni differenziali

 

−2 0 3

d 0 0 1

~u = ~u

 

dt 0 0 1

è t

A) ~u = (0, 0, 1)e

t

B) ~u = (3, 3, 3)e

C) ~u = (1, 1, 1) t

D) ~u = (3, 0, 3)e

−6x

6y 2 \ {(0,

Esercizio 4. Il campo vettoriale F (x, y) = su 0)}

, R

2 2 2 2

9x + 4y 9x + 4y

A) non è irrotazionale

B) è conservativo, ma non è irrotazionale

C) non è irrotazionale e non è conservativo

D) è irrotazionale, ma non è conservativo

Esercizio 5. La coordinata z del baricentro dell’insieme

3 2 2 2

∈ ≤ ≥

A = (x, y, z) : x + y + z 16, z 0

R

(con densità di massa costante) vale

A) 3/2

B) 3/4

C) π/2

D) 3π/4

Esercizio 6. Il flusso del campo vettoriale

2 2

y y

−ze

F (x, y, z) = xe , z + 3y,

× ×

uscente dal bordo del cubo Q = [0, 2] [0, 2] [0, 2], vale

A) 24

B) 18

C) 0

D) 3 ∞

∞

X X

n n

Esercizio 7. Siano a x e b x due serie di potenze con raggi di convergenza R ed R ,

n n 1 2

n=0 n=0 ∞

X n

rispettivamente. Se 0 < R < R < +∞, allora la serie (3a + 5b ) x ha raggio di convergenza

1 2 n n

n=0

3R + 5R

1 2

A) 2

B) R

2

C) R 1

D) 3R + 5R

1 2 2

∈ |x| − ≤ ≤ − −1 ≤ ≤

Esercizio 8 (9 punti). Sia A = (x, y) : 1 y 1 x, x 1 . Calcolare

R

Z y dxdy.

A

Analisi Matematica 2 14 settembre 2015

Nome, Cognome, Matricola:

Cognome del Docente: −1)

Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata =

Versione Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es. 7

1 3

× →

***Esercizio 1. Sia Σ il sostegno della superficie σ : [0, 2] [0, 3] R definita da σ(u, v) =

2

(u, v, 2u v). L’integrale Z 4u

√ dσ

2 2 4

1 + 16u v + 4u

Σ

vale

A) 18

B) 24

C) 12

D) 6 2 3

Z Z

2 →

Esercizio 2. Sia f : R R continua. L’integrale f (2x, 3y) dy dx è uguale a

1 0

4 9

Z Z

A) f (x, y) dy dx

2 0

4 9

Z Z

B) 6 f (x, y) dy dx

2 0

2 3

Z Z

1

C) f (x, y) dy dx

6 1 0

4 9

Z Z

1

D) f (x, y) dy dx

6 2 0 2

Esercizio 3. La circuitazione del campo F (x, y) = sin(xy) + xy cos(xy), x cos(xy) lungo la curva

2

→

γ : [0, 2π] R definita da γ(t) = (3 cos t, 4 sin t) vale

−2π

A)

B) π

C) 0

D) 1 ∞ n

−

3n 6

X

Esercizio 4. La serie 2n + 3

n=1

−∞

A) diverge a

B) diverge a +∞

C) converge

D) è indeteminata →

***Esercizio 5. La successione di funzioni f : R R,

n − −

f (x) = 4 cos(x n)

n

A) converge puntualmente su [0, 2π]

B) converge puntualmente su R ma non uniformemente

C) converge uniformemente su R

D) non converge in nessun punto di R

∞ 1

X p

n n |a |

Esercizio 6. Sia a x una serie di potenze tale che lim = . Allora il raggio di

n n 16

n→∞

n=1 ∞

X 2 n

convergenza della serie a x

n

n=1

2

A) è 16

B) è 4

C) è 16

D) non si può calcolare senza ulteriori informazioni −

Esercizio 7. La serie di MacLaurin della funzione f (x) = x (log(2 + x) log 2) è

∞ n

x

X n+1 − x log 2

A) (−1) 2n

n=1

∞ n+1

x

X n+1

B) (−1) 2n

n=1

∞ n+1

x

X n+1

C) (−1) n

n2

n=1

∞ n n+1

2 x

X n+1

D) (−1) n

n=1

Esercizio 8 (9 punti). Sia 3 2 2 2

{(x, ∈ | ≥ ≥ ≥ ≤ ≤

Ω = y, z) R x 0, y 0, z 0, 1 x + y + z 2}.

Calcolare Z 5x dxdydz.

2 2 2

x + y + z

Ω

Analisi Matematica 2 2 febbraio 2016

Cognome: ....................................................... Nome: ..................................... Matricola: ..................

Corso di Laurea: Biomedica Meccanica −1)

Risposte (giusta = 3, non data = 0, sbagliata =

Versione Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es. 7

1 √

3 2 2

{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Esercizio 1. Sia Ω = y, z) R : (x+2) +y 4, 0 3y 3(x+2), 4(x+4) z 5(x+4)}

3 3

→

e sia F : R R il campo vettoriale y z y

− −

F (x, y, z) = xe , 3y xe , 3y ze .

Il flusso di F uscente da Ω vale

−

A) 2π 4

B) 2π + 4

C) 4π + 2

−

D) 4π 4 ∞

2

4

X 2 −

log 1

Esercizio 2. La serie (n + 3) sin 3

n n

n=3

A) diverge a +∞

B) converge a un numero positivo

C) converge a un numero negativo

−∞

D) diverge a

Esercizio 3. L’insieme di convergenza puntuale della serie

∞ − −

(n + 1)! (n 1)!

X nx

e

n −

(3 + 2)(n 1)!

n=1

A) è (−∞, log 3)

B) è (−∞, log 3]

C) è (−∞, 3]

D) è (−∞, 3) 2 2 2 3

→ −x

Esercizio 4. Sia F : R R il campo vettoriale F (x, y) = (3x cos y + 2 cos x, sin y) e sia

2 2

→ −

γ : [0, π] R la curva γ(t) = (t, (π t) ). Il lavoro compiuto da F lungo γ vale

3

A) π 3

B) 2π

2

C) π 2

D) 3π

***Esercizio 5. La serie di funzioni +∞ 3

log n

X cos(n! x)

3 2

n + 2n + 3

n=1

3

log n ∈

cos(n! x) = 0 per ogni x R

A) converge a zero perché lim 3 2

n + 2n + 3

n→+∞

B) converge uniformemente su R ma la sua somma non è una funzione continua

C) converge puntualmente su R ma non uniformemente

D) converge uniformemente su R e la sua somma è una funzione continua

Esercizio 6. Siano γ e γ le circonferenze di raggio