Esercizi teoria della probabilità e variabili aleatorie - Parte 1

Esercizi svolti Teoria dei Segnali

Teoria della probabilità e variabili aleatorie

Esercizio 1

Si consideri una variabile aleatoria X Gaussiana a media pari a 0 e deviazione standard 6. Essa viene

trasformata nella variabile aleatoria Y secondo la legge riportata in figura dove A=10.

Y=g(X)

A X

-A -A/2 A/2 A

-A

Calcolare:

1. La probabilità che X assuma un valore minore o uguale a 1;

2. Calcolare la f (y)

Y

3. Calcolare la F (y)

Y

4. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore maggiore o uguale a 1

5. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore minore o uguale a 6

3. supponendo di aver trovato un agente che ha superato il test, calcolare la probabilità che abbia

ottenuto buone vendite;

4. supponendo di aver trovato un agente che non ha superato il test, calcolare la probabilità che non

abbia ottenuto buone vendite;

5. supponendo di aver trovato un agente che non ha superato il test, calcolare la probabilità che

abbia ottenuto buone vendite.

Esercizio 3

Si consideri una variabile aleatoria X Gaussiana standard a media pari a 0 e deviazione standard 6. Essa

viene trasformata nella variabile aleatoria Y secondo la legge riportata in figura.

Y=g(X)

2

1 X

-7 -2 2 7

Calcolare:

1. La probabilità che X assuma un valore minore o uguale a 1;

2. Calcolare la f (y)

Y

3. Calcolare F (y)

Y

4. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore maggiore o uguale a 1

5. Calcolare la probabilità che Y assuma un valore minore o uguale a 6

0.4954

Esercizio 4

Un’urna contiene 6 palline numerate da 1 a 6. Un esperimento aleatorio consiste nell’estrazione di 2 palline

con re-immissione. Sia M la variabile aleatoria che indica il più alto numero nell’esperimento di doppia

estrazione, e Z la variabile che indica il numero più basso. Calcolare:

1. La probabilità che il risultato dell’esperimento sia: (3,4)

2. La funzione densità di probabilità (pdf) della variabile aleatoria discreta M

3. La funzione densità di probabilità (pdf) della variabile aleatoria discreta Z

4. La probabilità che il risultato non sia fatto da due numeri uguali

5. La probabilità che la seconda estrazione dia un numero maggiore o uguale a 4, dato per

certo che la prima estrazione abbia dato come risultato 3

Esercizio 5

In Italia ci sono 82882 cittadini che hanno cognome Rossi e 34685 che hanno cognome Bianchi. Assumendo che in

Italia vi siano 55 milioni di abitanti e nel mondo 6 miliardi di abitanti e che di essi l’1% si chiami di cognome Bianchi e

lo 0.5% si chiami Rossi, preso a caso un cittadino del mondo avente un singolo cognome, si valuti:

1) la probabilità che sia un cittadino italiano e non si chiami Bianchi

2) la probabilità che sia un cittadino italiano e si chiami Rossi o Bianchi

3) la probabilità che, dato per certo che si chiami Bianchi, sia italiano

4) la probabilità che, dato per certo che non sia italiano, si chiami Rossi

5) la probabilità che, dato per certo che non si chiami Rossi, non sia italiano

SOLUZIONE

1)