Probabilità - Appunti di Teoria, Esercizi e Prove d'Esame

Libri di testo consigliati:

1. Conte "Lezioni di teoria dei segnali"
2. Papoulis - Pillai "Probability random variables and stochastic processes"

- RICHIAMI DI INSIEMISTICA

Insieme -> collezione di oggetti (che possano avere o meno una certa caratteristica).

Es. { x ∈ ℝ | x < ¹/₂} è l'insieme dei numeri reali minori di ¹/₂.

Le operazioni che si possono fare sugli insiemi sono principalmente unioni e intersezioni

- DEFINIZIONI

Prendiamo tre insiemi A, B e 𝕊.

A_Ssi dice sottoinsieme di B (A ⊆ B) se tutti gli elementi di A sono contenuti anche in B.

A = unione di A e B se contiene tutti gli elementi contenuti in A, in B o in entrambi. Si indica con ∪.

𝕊 = intersezione di A e B se contiene tutti elementi che appartengono sia ad A sia a B. Si indica con ∩.

- Diagramma di Eulero - Venn

∅ ∪ B = B

A ∩ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ (𝔹 ∪ ℂ) = (A ∩ 𝔹) ∪ (A ∩ ℂ)

A ∪ (𝔹 ∩ ℂ) = (A ∪ 𝔹) ∩ (A ∪ ℂ)

∅ ∪ (𝔸 ∩ 𝔹) = (∅ ∪ 𝔸) ∩ (∅ ∪ 𝔹)

∅ ∩ (𝔸 ∪ 𝔹) = (∅ ∩ 𝔸) ∪ (∅ ∩ 𝔹)

- PROPRIETA INSIEMI

Libri di testo consigliati:

1. Conte "Lezioni di teoria dei segnali"
2. Papulis - Pillai "Probability random variables and stochastic processes"

- RICHIAMI DI INSIEMISTICA

Insieme → collezione di oggetti (che possono avere o meno una certa caratteristica).

Es.  Aeqx____{in_Xmath>mfracmn<12/m

è l'insieme dei numeri reali minori di ₁/₂

Le operazioni che si possono fare sugli insiemi sono principalmente unioni e intersezioni

- DEFINIZIONI

Prendiamo tre insiemi _{A B} e _C.

_A si dice sottoinsieme di _B (_{A =sub B}) se tutti gli elementi di _A sono contenuti anche in _B.

Unione di _A e _B se contiene tutti gli elementi contenuti in _A ^o in _B o in entrambi. Si indica con _∪

Intersezione di _A e _B se contiene tutti elementi che appartengono sia ad _A sia _B. Si indica con _∩

- Diagramma di Eulero-Venn

_{A ∪ B}&emsp= _{S ∩ D}

È detto complemento l'insieme che contiene tutti gli elementi eccetto quelli contenuti nell'insieme.

Insieme numerabile = è un insieme tra cui elementi si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri reali.

- PROPRIETA INSIEMI

• _{A ∪ ∅ = A}
• _{A ∪ S = S}
• _{A ∩ ∅ = ∅}
• _{A ∩ S = A}
• _{A ∪ A = A}
• _{A ∩ A = ∅}
• _{A ∪ B = B ∪ A}
• _{A ∩ B = B ∩ A}
• _{A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C}
• _{A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C}
• _{A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)}
• _{A ∩ (A ∪ B) = A}
• _{A ∪ (A ∩ B) = A}
• _{A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)}

- PROBABILITÀ

La probabilità è uno strumento metodologico che ci permette di prendere delle decisioni in momenti di indecisione/incertezza.

Si tratta di una teoria assiomatica basata su 3 regole fondamentali:

• ASSIOMI:
• P(A) ≥ 0 → probabilità di un evento ≥ 0
• P(S) = 1 → probabilità dello spazio campione = 1
• Se A ∩ B = Ø ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

DEFINIZIONE

Probabilità: La probabilità è un numero compreso tra 0 e 1. È una funzione che ha come dominio lo spazio campione e come codominio tutti i numeri reali tra 0 e 1 e che gode dei 3 assiomi precedentemente elencati.

• CONCETTI
• Evento elementare = elemento indivisibile
• Es. Lancio di un dado, voglio prendere la faccia esceL'elemento campione = risultato faccia es. una delle 6 facce
• Evento certo (lo spazio campione) = si verifica sicuramente
• Es. Lancio un dado: lo spazio campione = l'insieme delle 6 facceLancio una moneta: lo spazio campionario sono le due facce

Due eventi si dicono mutualmente esclusivi se al verificarsi di uno automaticamente è impossibile che si verifichi l'altro (A ∩ B = Ø).

• La probabilità di un insieme vuoto (Ø) è 0
• Dim. A ∩ Ø = Ø ⇒ P(A ∪ Ø) = P(A)
• P(A) = P(A) + P(Ø) ⇒ P(Ø)