Esercizi svolti a lezione di Statistica

ESERCIZI LIBRO

CAPITOLO 1

1. Da prossima settimana si terranno le elezioni presidenziali americane e annunciamo di intervistare un campione di elettori volessimo stimare probabilità per vincerla. Il candidato repubblicano è quello democratico.

   Quale dei seguenti metodi di selezione produrrà più facilmente un campione rappresentativo?

2. Intervistare tutti gli spettatori di maggiore età ad una partita di basket giù college.

RISPOSTA GIUSTA → Scegliere 100 elettori a caso e intervistarli vedi

CAPITOLO 2

1. DONNE:

   X_A X_B

   (X_A1, ..., X_Am) m∈N⁺

   (X_B1, ..., X_Bm) s∈N⁺

2. UOMINI:

   Y_A Y_B

   (y_A1, ..., y_mA) m∈N⁺

   (y_B1, ..., y_mB) n∈N⁺

X_A ≥ X_B

Y_A > Y_B

W_A = (X_AxM + Y_AxM) / (M + M) > W_B = (X_BxS + Y_BxH) / (S + H)?

PESO MEDIO DI B

X_A m / (m+M) + Y_A m / (m+M)

% donne in A

X_B S / (S+H) + Y_B H / (S+H)

% uomini in A

Non possiamo sapere se la relazione è vera

₁₂ Consideriamo due aziende A e B

m_A = 100 dipendenti

m_B = 110

X̄_A = ¹/_m ^m∑_i=1 X_iA > X̄_B = ¹/_m ^m∑_i=1 X_iB

(ammontare stipendi in A maggiore che in B)

→ La mediana dei salari in A è maggiore o minore rispetto a B?

RISPOSTA: Non lo possiamo sapere

→ Si può dire che X̄_A ≥ X̄_B?

X̄_A = ^X_A/₁₀₀

X̄_B = ^X_B/₁₁₀

100 < 110 ⇒ X̄_A > X̄_B

₁₃ La media campionaria dei primi 99 dati (su tot 190) è pari a 120, la media dei successivi 99 è 100.

X̄₉₉ = 120

X̄₉₉ = 100

m = 198

1 - Media campionaria 199?

X̄ = ^{120×99 + 100×99}/₁₉₈ = 110

≈

Anche:

(^120+100)/₂

2 - Su mediana e moda non

3 - si può dire nulla perché i dati non sono ordinati

E -> X₄ - X₃ = 0

{0,0,0,0}, {0,1,0,0}, {0,0,0,1}, {0,1,0,-1}

E è strettamente incluso in F

Dimostrare che se E ⊂ F, allora P(E) ≤ P(F)

F = E ∪ (F ∩ Ē)

P(F) = P(E) + P(F ∩ Ē) - P(E ∩ (F ∩ Ē)) =

= P(E) + P(F ∩ Ē) > P(E)

Dimostrare:

1. P(E ∩ F) = P(E) - P(E ∩ F)
2. (E ∩ Ē) ∩ (E ∩ F) = ∅
3. P(Ē ∩ F̅) = 1 - P(E) - P(F) + P(E ∩ F) =
4. = 1 - P(E ∪ F)
5. Ē ∩ F̅ = Ē ∪ F
6. P(Ē ∪ F) = 1 - P(E ∪ F)

complementare

39

P(C₁) = P(C₂) = 0,5

P(A^c | A) = P(A | A ∩ A₂) / P(A)

P(A|A) = P(A₁|C₁)P(C₁|A) + P(A₂|C₂)P(C₂) = 3/1

1 · 0,5 + 0,5 · 0,5

43

E = D₁ + D₂ = 7

D₁ = 4

D₂ = 3

P(D₁ = 4 | E = 7) = 1/6

P(D₂ = 3) P(D₁ = 4) = 1/6

P(E = 7) 6/36 → casi possibili = 36 favorevoli = 6

3)

E(x) = 2

E(x²) = 8

E(costante) = costante

a

E(2 + u x)² = E(u + 4 + 6x² + 16x) =

= u + (16 . 8) + (16 . 2) = 16u

b

E [ x² + (x² + 2x + 1) ] = 8 + 8 + 2 . 2 + 1

= 21

35)

F(Me) = 1/2 → P(X ≤ Me) = 0,5

a

g(x) = e^-x

F(x) = P(X ≤ x) = ∫ (x,0) e^-t du = 1 - e^-x

F(Me) = 1 - e^-Me = 1/2

e^-Me = 1 - 1/2 = 1/2

Me = -log 1/2 = log 2

b

g(x) = 1

0 ≤ x ≤ 1

F(x) = ∫ (0,x) 1 du = x

F(Me) = x = 1/2 Me = 1/2

40

• 1
• 2
• 3
• u

E(X) = 1/u + 2/u + 3/u + u/u = 10/u =

= 5/2 = 2,5

u

d, r

d: dominante r: recessivo

• individuo dd
• individuo rr
• individuo dr yd

dd, dr, yd se comportamo allo stesso modo

M(d|r) P(d|r)

m=ū

X₁=

• 1 manifesto
• 0 non manifesto

3/u

1/u

Y=∑_i=1^u Xᵢ ∩ Bum (u, 3/u)

P(X=3)=(^u₃)(³/_u)³×1/u=27/6u

Y∩Bum(m, θ)

E(Y)=7 VAR(Y)=2,1

a) P(Y=u)?

• E(Y)=7=mθ

numero di successo

VAR(Y)=mθ(1-θ) 2,1

numero di insuccessi

probabilità di successo

→ m=10

θ=0,7

P(Y=u)=(¹⁰_u)0,7^u⋅0,3⁶=

10!/^u!(10-u)!

Y ∼ Bin (5, 0,08)

P (y = 3) = \(\frac{5!}{3! 2!} \cdot 0,08^3 \cdot 0,92 = 0,0065\)

²⁵

X ∼ N (μ₀, μ²)

TESTO: Le pecore australiane ammalate hanno

una distribuzione normale con

μ = 0 e σ = 1. Probabilità che in

2 anni le pecore superano i

50? Assumiamo indipendenza fra

gli anni.

Y ∼ Bin (u,_π)

π = P (X < 50) = P (Z > \(\frac{50 - μ₀}{u}\)) = P (Z > 2,5)

= 1 - Φ(2,5) = 0,006

P (Y = 2) = \(\frac{u!}{2! 1!} \cdot 0,006^2 \cdot 0,99^u^2 = 0,00023\)

²⁸

Delle lampadine hanno luminosità con

distribuzione normale, media = 2000 e

d.s. = 55. Determinare la luminosità imponibile

da dichiarare a garanzia non più del 5%

delle lampadine prodotte non la rispetti.

Determina L tale che P (X < L) = 0,95, dove

x è la lum. di una lampadina a

caso.

X ∼ N (2000, 55²)

P (X ≤ x) ≤ 0,05

_{devo trovare} ^dalla

^{questo quantile tabella questo}

^quantile

(39)

1

Le monete di anni di funzionamento di un motore diesel segue una distribuzione esponenziale di parametro λ=1/8 se si compra una macchina usata quale è la probabilità che duri 10 anni o più?

X ~ Exp(1/8)

P(X > 10) = ∫₁₀^∞ λe^-λx dx = e^-10/8

2

Le sia data una forno che conviene che il tempo di vita di un motore segue un' esperienza di parametro λ=1/20. Le si compra una unità con durata circa 10.000 miglia.

1. Se lei sa che la forno che prova una durata fatta circa 20.000 miglia?

   X ~ Exp(1/20)

   P(X > 20000 + 10.000 | 10.000) = P(X > 20.000) = e^-1 = 0.3687

2. Stessa domanda nell' ipotesi di una distribuzione uniforme nell' intervallo (0, μ₀)

X ~ U(0, μ₀)

P(X > 30.000) / P(X > 10.000) = (μ₀ - 30) / μ₀ = 1/3 = 0.33

1. I circuiti integrati prodotti da un certo impianto sono difettosi con probabilità di 0,25, i tutti indipendenti. È una idea se in un campione di 1000 pezzi, con probabilità se ne trovassano meno di 200 difettosi?

• X = { 1 - 0,25, 0 - 0,75 } i.i.d

m = 1000

Y = Σ_i=1¹⁰⁰⁰ X_i • ≈ Bum(1000, 0,25)

≈ N(25, 187,5)

E(Y) = 25

V(Y) = 187,5

P(Y < 200) = P(Z < -3,69) ≈ 0

2. Il 12% della popolazione mondiale è mancina. Qual è la probabilità che in un campione di 100 persone sia più di 10% e il mancini.

• X = { 1 - 0,12, 0 - 0,88 }

m = 100

Y = Σ_i=1¹⁰⁰ X_i • ≈ Bum(100, 0,12)

≈ N(12, 10,56)

P(10 < Y < 100) = P(Z < 0,19) - P(Z < -0,19)