Esercizi su sforzo-deformazione

SFORZO DI TAGLIO RISOLTO, INDOTTO

Esercizio 1.

Calcolare lo sforzo di taglio che agisce nel sistema di scorrimento _(111)[011] in una cella unitaria di un monocristallo di nickel di tipo CFC, così è applicato uno sforzo di 13,7 MPa nella direzione _[001] della cella unitaria.

Dati:

• F = [0 0 1] direzione di taglio
• F_s = [0 1 1] direzione di scorrimento
• A = (111) piano di scorrimento
• σ = 13,7 MPa
• τ = ?

τ = σ cos λ cos φ

Svolgimento

1. cos λ : F . F_s = |F| |F_s| cos λ = √(0² + 0² + 1²) ⋅ √(0² + (-1)² + 1²) cos λ
2. ⇒ √2 cos λ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos λ = 1/√2
3. cos φ : F . A = |F| |A| cos φ : √(0² + 0² + 1²) ⋅ √(1² + 1² + 1²) cos φ
4. √3 cos φ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos φ = 1/√3
5. τ = σ cos λ cos φ = 13,7 MPa ⋅ 1/√3 ⋅ 1/√2 = 5,6 MPa

SFORZO DI TAGLIO RISOLTO, INDOTTO

Esercizio 1.

Calcolare lo sforzo di taglio che agisce nel sistema di scorrimento [111](011̅) in una cella unitaria di un monocristallo di NICKEL di tipo CFC, così è applicato uno sforzo di 13,7 MPa nella direzione [001] della cella unitaria.

Dati:

F = [001̅] direzione di taglioF_s = [0 1̅ 1] direzione di scorrimentoA = (111) piano di scorrimento = 13,7 MPa = ?

= cos λ cos φ

Svolgimento

cos λ: F̅ · F̅_s = |F̅| |F̅_s| cos λ = √(0² + 0² + 1²) · √(0² + ( ̅1)² + 1² = adl⇒ √2 cos λ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos λ = 1/√2

cos φ: F̅ · A̅ = |F̅| |A̅| cos φ : √(0² + 0² + 1²) · √(1² + 1² + 1²) cos φ = √3 cos φ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos φ = 1/√3

_c = cos λ cos φ = 13,7 MPa · 1/√3 · 1/√2 = 5,6 MPa

Modulo di Poissons

3.

[5 punti] Un carico di trazione viene applicato lungo l'asse di una barra cilindrica di ottone (E=97GPa) avente un diametro di 12 mm. Determinare lo sforzo necessario a produrre una variazione del diametro di 2.2x10^-3 mm, ipotizzando che avvenga una deformazione puramente elastica. Il rapporto di Poisson della barra è ν=0,34.

Dato:

• ν=0,34
• E=97 GPa
• d=12 mm
• Δd=2,2·10^-3 mm

Svolgimento

ν = -_εx/_εz

ε_z = ?

ε_z = deformazione assiale

ε_x = deformazione lungo asse x.

ε_x = Δd/d

Nel tratto elastico vale la legge di Hooke

σ = Ε ε

Ε = Δσ/Δε

[GPa]

ε_x = (2,2·10^-3 mm) / (12 mm) = 1,83·10^-4

ν = -_εx/_εz → ε_z = -ε_x/ν = -1,83·10^-4/0,34 = 5,4·10^-4

Calcoliamo sforzo nel caso elastico

σ = 97·5,4·10^-4 = 0,052

APPELLO DEL 19 Giugno 2023-traccia A

Parte A:

1. [7 pt] Un provino cilindrico di alluminio ha le seguenti dimensioni iniziali diametro Φ = 12.8 mm e lunghezza l_o = 50.80 mm. A frattura, il diametro minimo nella regione di strizione risultava essere 9.40 mm e il carico a frattura 36400N. Dati i seguenti diagrammi relativi alla prova.

a) lo sforzo di snervamento σ_y:

b) il modulo elastico E;

c) lo sforzo massimo σ_M:

d) lo sforzo ingegneristico a frattura σ_f;

e) la duttilità in termini di % di elongazione

f) lo sforzo reale a frattura.

g) la resilienza.

a) Tracciare una retta parallela al tratto elastico che parte da 0.002. Il pt di intersezione con il grafico è lo sforzo di snervamento σ_y.

1. Si misura la distanza tra 0 e 300 con la squadretta (d₁).
2. Si traccia dal punto le proiezioni lungo gli assi e si misura la distanza d₂ con il righello.
3. Si fa proporzione: d₁ : 300 = d₂ : σ_y

b)

^Δσ/_Δε = ^{σ₂ - σ₁}/_{ε2 - ε1} dove σ₁ ed ε₁ sono = 0 poiché passa dall'origine

  σ₁ → quello trovato punto "a"

  ε₂ → si fa la proporzione o graficamente

c) SFORZO MAX σ_M

Lo sforzo max si calcola sempre graficamente prendendo il punto più alto del 1° grafico.

d) Lo SFORZO INGEGNERISTICO A FRATTURA σ_F sarebbe l'ultimo punto del primo grafico sempre con metodo grafico. NON È LO SFORZO A FRATTURA REALE.

e) % di elongazione ^{l_f - l₀}/_l0 × 100

Avendo i due diametri possiamo calcolare E_Π:

  E_Π = ^Δd/_d0 = ^{9.40 - 12.8}/_12.8 = -0.265

A sua volta

  E_x = ε = ^Δl/_l0

Ma % elong = ^Δl/_l0 × 100 => ε × 100 = 26.5%

f) Lo sforzo REALE a frattura

_𝜔 = _𝜏^. (1 + _ϵ)

sforzo reale = sforzo ingegneristico .

_𝜔 = _𝜏 (1 + _ϵ)

trovo le coordinate del punto a frattura dove

trovo sia _𝜏 che _ϵ .

DEFORMAZIONE REALE: ln (1 + _ϵ )

g) resilienza

_Ur = _𝜏s² / 2_E

_𝜏s sforzo di snervamento punto ^ά

_E modulo elastico punto ^ϐ

ESERCIZIO

I seguenti dati sono stati ottenuti da una prova di trazione di un campione cilindrico di ghisa duttile di diametro 20 mm e lunghezza iniziale l_o 40 mm

Determinare:

1. d tracciare la curva sforzo – deformazione, utilizzando le grandezze nominali;
2. lo sforzo ad snervamento _σs;
3. il modulo elastico a trazione E;
4. la duttilità espendo dopo la frattura la lunghezza risulta essere 47.42 mm e il diametro 18.35 mm

σ=F/A_o

ε=Δl/l_o

E=Δσ/Δε

σ=Eε

ii)

σ (MPa)

• 79,62
• 159
• 238
• 285
• 334
• 382
• 417
• 398

iii) Tracciare curva sforzo-deformazione

(ii) Modulo elastico a trazione

E = _Δσ / _Δε = _{159 - 0} / _9,25·10^-4 MPa = 172 GPa

iii) La DUTTILITÀ

d_f = 18,35 mm ; l_f = 47,42 mm

i. elong = (l_f - l₀) / l₀ · 100 = (47,42 - 40) / 40 = 18,55%

ESERCIZIO

Un provino cilindrico di alluminio, che ha le seguenti dimensioni iniziali diametro Φ = 11.28mm e lunghezza l₀ mm = 75.00 mm è sottoposto a prova di trazione. Siano dati i seguenti dati di carico (vedi tabella): forza F (KN) ed allungamento del provino Δl (mm).

Load (KN) - 0, 2.0, 6.5, 11.5, 13.6, 16.0, 18.0, 19.0, 20.5, 19.0

ΔLength (mm) - 0, 0.012, 0.039, 0.069, 0.080, 0.107, 0.133, 0.158, 0.225, 0.310

Dopo la frattura il provino misura 75.26 mm. Determinare:

• i) L’andamento carico – deformazione ingegneristico;
• ii) lo sforzo di snervamento o YS;
• iii) il modulo elastico E;
• iv) lo sforzo massimo o M;
• v) lo sforzo di frattura o F;
• vi) la duttilità.

d_i = 11,28 mm

l₀ = 75,00 mm

l_f = 75,26 mm

A₀ = π(d₂/4) = 99,93 mm² ≈ 100 mm²

Load (N) / Δl (mm)

0 - 0

1. 2000 - 0,012
2. 6500 - 0,039
3. 11500 - 0,069
4. 13600 - 0,080
5. 16000 - 0,107
6. 18000 - 0,133
7. 19000 - 0,310

(i) sforzo di snervamento

σ (MPa) / ε ^-4

• 20 - 1,6·10^-4
• 65 - 5,2·10^-4
• 115 - 9,2·10^-4
• 136 - 1.10^-3
• 160 - 7,4·10^-3
• 190 - ...

E = ^Δσ/_Δε = ²⁰/_1,6·10^-5 = 1,25·10³ MPa

σ_M = ^F/_A = ^{20500 N}/_{100 mm²} = 205 MPa

σ_F = ^F/_A = ^{19000 N}/_{100 mm²} = 190 MPa

4) [6 punti] Dato il seguente diagramma sforzo-deformazione ingegneristico di un acciaio, Determinare:

• (a) Il modulo elastico dell’acciaio
• (b) Lo sforzo di snervamento
• (c) Se un carico di trazione pari a 130000N viene applicato ad un provino cilindrico di diametro iniziale pari a 10 mm fatto con questo acciaio, la sua deformazione sarà elastica o elasto-plastica (spiegare la risposta)? Se il provino è lungo 500mm, quale sarà il suo allungamento quando il carico viene applicato? Quale sarà la sua lunghezza quando il carico viene rilasciato?

σ = ^F/_A0 = ^{130000 N}/_{78,53 mm²} = 1655,41 MPa

80 mm : 2000 = h : 1655,41

80 : 1655,41 = 66,21 → 6,6 cm

Dal punto si traccia una retta che incontra il grafico e se il punto di intersezione si trova nella parte della retta allora si trova nella parte elastica, se va oltre la retta è elasto-plastica.