Esercizi su sforzo-deformazione

Sforzo di taglio risolto, indotto

Esercizio 1

Calcolare lo sforzo di taglio che agisce nel sistema di scorrimento _(111)[011] in una cella unitaria di un monocristallo di nickel di tipo CFC, così è applicato uno sforzo di 13,7 MPa nella direzione _[001] della cella unitaria.

Dati

F = [0 0 1] direzione di taglio
F_s = [0 1 1] direzione di scorrimento
A = (111) piano di scorrimento
σ = 13,7 MPa
τ = ?
τ = σ cos λ cos φ

Svolgimento

• Cos λ: F . F_s = |F| |F_s| cos λ = √(0² + 0² + 1²) · √(0² + (-1)² + 1²) cos λ ⇒ √2 cos λ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos λ = 1/√2
• Cos φ: F . A = |F| |A| cos φ: √(0² + 0² + 1²) · √(1² + 1² + 1²) cos φ √3 cos φ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos φ = 1/√3
• τ = σ cos λ cos φ = 13,7 MPa · 1/√3 · 1/√2 = 5,6 MPa

Sforzo di taglio risolto, indotto

Esercizio 1

Calcolare lo sforzo di taglio che agisce nel sistema di scorrimento [111](011̅) in una cella unitaria di un monocristallo di nickel di tipo CFC, così è applicato uno sforzo di 13,7 MPa nella direzione [001] della cella unitaria.

Dati

F = [001̅] direzione di taglio
F_s = [0 1̅ 1] direzione di scorrimento
A = (111) piano di scorrimento
= 13,7 MPa
= ?
= cos λ cos φ

Svolgimento

Cos λ: F̅ · F̅_s = |F̅| |F̅_s| cos λ = √(0² + 0² + 1²) · √(0² + (̅1)² + 1² = adl ⇒ √2 cos λ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos λ = 1/√2

Cos φ: F̅ · A̅ = |F̅| |A̅| cos φ: √(0² + 0² + 1²) · √(1² + 1² + 1²) cos φ = √3 cos φ = 0 + 0 + 1 ⇒ cos φ = 1/√3

_c = cos λ cos φ = 13,7 MPa · 1/√3 · 1/√2 = 5,6 MPa

Modulo di Poisson

3. [5 punti]

Un carico di trazione viene applicato lungo l'asse di una barra cilindrica di ottone (E = 97 GPa) avente un diametro di 12 mm. Determinare lo sforzo necessario a produrre una variazione del diametro di 2.2x10^-3 mm, ipotizzando che avvenga una deformazione puramente elastica. Il rapporto di Poisson della barra è ν = 0,34.

Dati

ν = 0,34
E = 97 GPa
d = 12 mm
Δd = 2,2·10^-3 mm

Svolgimento

ν = -_εx/_εz

ε_z = ?

ε_z = deformazione assiale

ε_x = deformazione lungo asse x.

ε_x = Δd/d

Nel tratto elastico vale la legge di Hooke.

σ = Ε ε

Ε = Δσ/Δε [GPa]

ε_x = (2,2·10^-3 mm) / (12 mm) = 1,83·10^-4

ν = -_εx/_εz → ε_z = -ε_x/ν = -1,83·10^-4/0,34 = 5,4·10^-4

Calcoliamo sforzo nel caso elastico.

σ = 97·5,4·10^-4 = 0,052

Appello del 19 giugno 2023 - traccia A

Parte A: 1. [7 pt]

Un provino cilindrico di alluminio ha le seguenti dimensioni iniziali diametro Φ = 12.8 mm e lunghezza l_o = 50.80 mm. A frattura, il diametro minimo nella regione di strizione risultava essere 9.40 mm e il carico a frattura 36400N. Dati i seguenti diagrammi relativi alla prova.

• Lo sforzo di snervamento σ_y;
• Il modulo elastico E;
• Lo sforzo massimo σ_M;
• Lo sforzo ingegneristico a frattura σ_f;
• La duttilità in termini di % di elongazione;
• Lo sforzo reale a frattura;
• La resilienza.

a) Sforzo di snervamento

Tracciare una retta parallela al tratto elastico che parte da 0.002. Il pt di intersezione con il grafico è lo sforzo di snervamento σ_y.

• Si misura la distanza tra 0 e 300 con la squadretta (d₁).
• Si traccia dal punto le proiezioni lungo gli assi e si misura la distanza d₂ con il righello.
• Si fa proporzione: d₁ : 300 = d₂ : σ_y

b) Modulo elastico

^Δσ/_Δε = ^{σ₂ - σ₁}/_{ε2 - ε1} dove σ₁ ed ε₁ sono = 0 poiché passa dall'origine

σ₁ → quello trovato punto "a"

ε₂ → si fa la proporzione o graficamente

c) Sforzo massimo σ_M

Lo sforzo massimo si calcola sempre graficamente prendendo il punto più alto del 1° grafico.

d) Sforzo ingegneristico a frattura σ_F

Lo sforzo ingegneristico a frattura σ_F sarebbe l'ultimo punto del primo grafico sempre con metodo grafico. Non è lo sforzo a frattura reale.

e) Percentuale di elongazione

% di elongazione ^{l_f - l₀}/_l0 × 100

Avendo i due diametri possiamo calcolare E_Π:

E_Π = ^Δd/_d0 = ^{9.40 - 12.8}/_12.8 = -0.265

A sua volta

E_x = ε = ^Δl/_l0

Ma % elong = ^Δl/_l0 × 100 => ε × 100 = 26.5%

f) Sforzo reale a frattura

Lo sforzo reale a frattura

_𝜔 = _𝜏^. (1 + _ϵ)

Sforzo reale = sforzo ingegneristico ._𝜔 = _𝜏 (1 + _ϵ)

Trovo le coordinate del punto a frattura dove trovo sia _𝜏 che _ϵ.

Deformazione reale: ln (1 + _ϵ)

g) Resilienza

_Ur = _𝜏s² / 2_E

_𝜏s sforzo di snervamento punto ^ά

_E modulo elastico punto ^ϐ

I'm unable to transcribe text from this image because it appears to be blank or contains only a grid. Please provide another image or more information if you need assistance.

Esercizio

I seguenti dati sono stati ottenuti da una prova di trazione di un campione cilindrico di ghisa duttile di diametro 20 mm e lunghezza iniziale l_o 40 mm.

Load (N) 0 2500 5000 7500 10000 12500 13000

Elongation (mm) 0.000 0.019 0.037 0.072 0.101 0.238 7.52 (fracture)

Determinare

• Tracciare la curva sforzo – deformazione, utilizzando le grandezze nominali;
• Lo sforzo ad snervamento _σs;
• Il modulo elastico a trazione E;
• La duttilità espendo dopo la frattura la lunghezza risulta essere 47.42 mm e il diametro 18.35 mm.

σ = F/A_o

ε = Δl/l_o

E = Δσ/Δε

σ = Eε

ii) σ (MPa) 79,62 159 238 285 334 382 417 398

iii) Tracciare curva sforzo-deformazione

(ii) Modulo elastico a trazione

E = _Δσ / _Δε = _{159 - 0} / _9,25·10^-4 MPa = 172 GPa

iii) La duttilità

d_f = 18,35 mm ; l_f = 47,42 mm

i. elong = (l_f - l₀) / l₀ · 100 = (47,42 - 40) / 40 = 18,55%

Esercizio

Un provino cilindrico di alluminio, che ha le seguenti dimensioni iniziali diametro Φ = 11.28mm e lunghezza l₀ mm = 75.00 mm è sottoposto a prova di trazione. Siano dati i seguenti dati di carico (vedi tabella): forza F (KN) ed allungamento del provino Δl (mm).

Load (KN) - 0, 2.0, 6.5, 11.5, 13.6, 16.0, 18.0, 19.0, 20.5, 19.0

ΔLength (mm) - 0, 0.012, 0.039, 0.069, 0.080, 0.107, 0.133, 0.158, 0.225, 0.310

Dopo la frattura il provino misura 75.26 mm. Determinare:

• L’andamento carico – deformazione ingegneristico;
• Lo sforzo di snervamento o YS;
• Il modulo elastico E;
• Lo sforzo massimo o M;
• Lo sforzo di frattura o F;
• La duttilità.

d_i = 11,28 mm

l₀ = 75,00 mm

l_f = 75,26 mm

A₀ = π(d₂/4) = 99,93 mm² ≈ 100 mm²

Load (N) / Δl (mm)

0 - 0

• 2000 - 0,012
• 6500 - 0,039
• 11500 - 0,069
• 13600 - 0,080
• 16000 - 0,107
• 18000 - 0,133
• 19000 - 0,310

(i) Sforzo di snervamento

σ (MPa) / ε ^-4

20 - 1,6·10^-4

65 - 5,2·10^-4

115 - 9,2·10^-4

136 - 1.10^-3

160 - 7,4·10^-3

190 - ...

E = ^Δσ/_Δε = ²⁰/_1,6·10^-5 = 1,25·10³ MPa

σ_M = ^F/_A = ^{20500 N}/_{100 mm²} = 205 MPa

σ_F = ^F/_A = ^{19000 N}/_{100 mm²} = 190 MPa

4) [6 punti]

Dato il seguente diagramma sforzo-deformazione ingegneristico di un acciaio, determinare:

• Il modulo elastico dell’acciaio;
• Lo sforzo di snervamento;
• Se un carico di trazione pari a 130000N viene applicato ad un provino cilindrico di diametro iniziale pari a 10 mm fatto con questo acciaio, la sua deformazione sarà elastica o elasto-plastica (spiegare la risposta)? Se il provino è lungo 500mm, quale sarà il suo allungamento quando il carico viene applicato? Quale sarà la sua lunghezza quando il carico viene rilasciato?

σ = ^F/_A0 = ^{130000 N}/_{78,53 mm²} = 1655,41 MPa

80 mm : 2000 = h : 1655,41

80 : 1655,41 = 66,21 → 6,6 cm

Dal punto si traccia una retta che incontra il grafico e se il punto di intersezione si trova nella parte della retta allora si trova nella parte elastica, se va oltre la retta è elasto-plastica.

I'm sorry, but this is a blank grid with no text to transcribe.