Matrici - esercizi svolti

Algebra Lineare e Geometria

Matrici

operazioni tra matrici, determinanti e rango

Esercizi svolti

Matrici

Operazioni tra matrici,determinante e rango

1. Dato le matrici:

   A = ^{(1 1)}     (0 1)     (2 -1)

   B = ^{(2 5)}     (1 -3)     (-1 3)

   C = ^{(0 3)}     (1 1)     (1 0)

2. Determinarea) A + Bb) 2A - B - Cc) A^T + Bd) A - B - C^T

Svolgimento:

• A + B = ^{(1 1)} + ^{(2 5)}      (0 -1)    (1 -2)      (2 -1)    (-3 3)

• 2A - B - C = ^{(2 0)} - ^{(2 5)} - ^{(0 3)}         (0 2)       (1 -3)       (1 1)         (4 -2) - (-1 3) - (1 0)

  = ^{(2 0)} - ^{(3 2)}         (0 2) - (0 0)         (5 -5) - (2 3)= ^{(3 1)}     (1 2)

• A^T + B = ^{(1 0)} + ^{(2 3)}         (1 3)       (5 1)                                                                –                                                                                                                                                                                                                                                                   &nbs         &nbs;       &nbs;       &nbs;     &nbs;      &nbs;            &nbs;    &nbs;          il class="esem&veysvoittings     &everyonepare:

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4. Date le matrici

A = ^{1 2}

  _{1 -1}

B = ^{0 1}

  _{2 1}

calcolare (AB)^T

Svolg:

(AB)^T = ^{(1 2) (0 1)}

     _{(1 -1) (2 1)}

= ^{4 3}

  _{2 0}

= ^{(4 -2)}

  _{(3 0)}

5. Verificare che le seguenti matrici

A = ^{1 -1}

  _{1 2}

B = ^{0 -2}

  _{2 1}

sono simmetriche e che la matrice A+B è anch’essa una matrice simmetrica.

Svolg:

A = ^{1 -1} → A^T = ^{1 -1}

  _{1 2    1 2} OK!

A = A^T ✓

B = ^{0 -2} → B^T = ^{0 -2}

  _{-2 1     -2 1} OK!

B = B^T ✓

A + B = ^{1 -1} + ^{0 -2} = ^{1 -3}

      _{1 2   2 1     1 3}

(A + B)^T = ^{1 -3}

      _{1 3} OK! A + B = (A + B)^T

Calcolare il determinante della matrice

A =

| 1 -1 2 || 3 0 2 || 2 -2 1 |

Svolg (utilizzo il metodo di Laplace)

A₂₁ = (-1)²⁺¹ det

| 3 0 2 || 2 -2 1 |

= -1 [ -3 + 1 - 4 (6-2+1)] = -1 [-9] = 9

A₂₃ = (-1)²⁺³ det

| 1 1 || 2 3 |

= - 1 [1+4 (1 - 1 +2 - 2)] = - [6+1] = -7

A₂₄ = det

| 1 -1 2 || 2 1 3 || -1 2 -1 |

= - 1 - 2(3-(7+2+6) - 4

det

| 1 -1 2 || 3 0 2 || 2 -2 1 |

= 3-9 + 2(4)+27 + 18 = 28

Segue →

18. Calcolare il determinante della matrice

A = ^{1 2 3}   _{1 -2 1   -1 0 1}

Svolg.

^{1 2 3}_{1 -2 11 -2 1} → _{1 -2 1} ^{_R₃ R₁ + R₃__}

¹_{0 1 2}^{1 2 31 3 1}     +_{1 0 1}     +        ³₁¹