Esercizi prova scritta di Informatica

FORMULARIO

MATRICI

A =

• NORME: ||A||_∞ = norma max per RIGHE = max _{1 ≤ i ≤ n} (Σ |a_ij|)
  • |a₁₁| + | | + | | = n u |n max
  • 3²u = | | = n | |

||A||_∞ = norma max per COLONNE

• ||A||₂ = √(λ max (A·A^T))
• A·A^T =

• λ·I = λ
• A·A^T - λI =

det(A·A^T - λI) = det

• ||A||_F = √tr(A·A^T) = λⁿ n

A·A^T = somma degli n

• PROVARE che A è DEFINITA POSITIVA
  • det(A)³ > 0

det(A) > 0

Fattorizzare A con Cholesky:

A = L L^T

L = ( )

Verifica:

[ ]₃ = 3_lli ( )^T

= a₃₃ di A

Trova soluzione di Ax=b con b=( ; ; )

Ax=b → L (L^-1 x ) = b

L y = b sost. avanti

y = ( )

x=L^-1 y sost. indietro

x = ( )

equazioni

Ricavare il Determinante:

det(A) = det(L) det(L)^T = det(L)² = (n_n n_n ... n_n)²

det(A³) = det(A)³ = (n_n)³ = nⁿ

det(A^-3) = 1 / det(A³) det(A) (n_n)^-3 = n^-n

det(A^-2) = (n_n n_n ... n_n)^-n

Determina L inferiore unitaria e U superiore della fattorizzazione

A = L^T L =

L =

D =

U_* =

d₁₁ n₁₁ n₂₁

d₂₁ n₃₁ a₂₁

a₃₁ n₁₁

d₂₁

d₂₁ a₁₁ n_a0

EQUAZIONI NON-LINEARI

Data f(x) in I = [a, b]

• ∃ 1 e 1 solo zero in I:

  • f continua e derivabile
  • f(a) · f(b) < 0
  • var. opposti agli estremi dell'I
  • ∃ α e 1 solo zero α in I: rad. unica
• le 2 curve C e g(x) intersecano in 1 pto ξ ∈ [a, b]

Effettuare 3 iterazioni con Newton-Raphson partendo dal pto 0̅X

• X_k+1 = X_k - f(X_k) / f'(X_k)
• w = (X_k - X_k-1) / φ(X_k) - X_k-1

Stimare ordine di convergenza + costante asintotica di convergenza

• e_N(X) = [...]
• |E|_k+1 = N_NRI · E_k - 1 · E_k
• M_NR ordine convergenza

dove una maggiorazione degli errori E (scarto)

PARABOLA

y = a₂ + a₁ x¹ + a₂ x²

x' = x

y' = y

y = a₀ + a₁x + a₂x²

CURVA DI APPROSSIMAZ. AI MINIMI QUADRATI

y = ax^b

log y = log a + b log x

EQ. RETTA

X_i = log x

Y_i = log y

y_i = a₀ + a₁ x

a₁ = Σx y

S₀, S₁, S₂, y

X_i, Y_i

y = a_i x_i

S₀, a₁ + S₁ b = Σy

S₁ a₀ + S₂ b = Σx y

STIMA DELL’ACCELERAZIONI (MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO) CON v₀ = 0

s = s₀ + a₂ t

X_i = t²

Y_i

a)

Sappiamo che i 2 autovalori grandi di A valgono λ₃ = 1.635 e λ₂ = 10.020,mostrare che A è definita positiva (teorema relazioni tra pol.aut.char.P(λ)).

tr(A) = 16 + 2 + 3λ₁ = 52

det(A) = λ₁ * λ₂ * λ₃ (somma n° in diagon. di A)|A| = tr(A) - λ₃ = 52 - 10.020 - 1.635 = 0,345

Sappiamo λ₁, λ₂, λ₃ > 0, A è def.posit.

b)

Fattorizzare la matr. A secondo Cholesky A = L * L^T e risolvere il sist.A x = b con b = [32, 1]^T.

L = { l₁₁ 0 0 l₂₁ l₂₂ 0 l₃₁ l₃₂ l₃₃ }

L^T = { l₁₁ l₂₁ l₃₁ 0 l₂₂ l₃₂ 0 0 l₃₃ }

A = L * L^T = [{l₁₁² l₂₁]{l₁₁l₂₁ + l₂₁²}] [l₁₁ l₂₁ + l₂₁l₂₁²] [l₁₁l₂₁ + l₂₁l₂₁²]}

• l₁₁² = 16 → l₁₁ = 4
• l₂₁l₁₁ = 12 → l₂₁ = 3
• l₂₂² + l₂₁² = 9 → l₂₂ = 3
• l₃₁l₁₁ = 12 → l₃₁ = 3
• l₃₂² + l₂₁² = 4 → l₃₂ = 2
• l₃₁l₁₁ + l₃₂l₂₁ + l₃₃² = 3 → l₃₃ = 3

L = { 4 0 0 3 3 0 3 2 3 }

L^T = { 4 3 1 0 3 2 0 0 3 }

1. L y = b
   • U₁₁y₁ = 32
   • U₂₂y₂ = x
   • 3y3 + U₁₂ + 3y₃ = 1
     • y₁ = 8
     • y₂ = 3
     • y₃ = -3
2. L x = y
   • UX₁ = x
   • X₂ = 1
   • X₃ = 3x - 3

c)

Utilizzando la fattorizzazione precedente det(A) e verificando che il risultato sia coerente con la parte a).

det(A) = det(L) det(L^T) = (4^1 . 3¹) x (12)

d)

Portando dal fattore triangolare adereo fattorizazione di Cholesky determina i D triangolare inf. DI UN TRIANGOLO SUPER. adereo FATTORIZZAZ. L^TU dove matr. A = L^-1 U.

L^T = L * D * C^-1 → U = D * C^T

D = { d₁ 0 0 0 d₂ 0 0 0 d₃ }

2) Risolvere il sist. lin. Ax=b

A=\begin{pmatrix} 6 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \end{pmatrix}

b=\begin{pmatrix} 16 \\ 20 \\ 16 \end{pmatrix}

a) Provare che il MET. DI JACOBI CONVERGE e calcolare la sua VELOC. DI CONVERG.

E3-I D-I A =\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}

det(E-I) = 0  det B=det =\begin{vmatrix} -1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -1 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1 \end{vmatrix}

det(E-I A) det =\begin{vmatrix} \lambda & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \lambda & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \lambda \end{vmatrix}

= (\lambda I)= (\lambda-\frac{1}{3})

P1=\frac{3}{3^3} \times \frac{2}{3}= 0,000\times \dots \Rightarrow P1>0 \, -\overrightarrow{OMNI}OUS