Esercizi scienza delle costruzioni

Linea elastica con vincolo doppio: manicotto + carrello

1/09/2016

1. Analisi cinematica

   • 2 aste = 6 gdl
   • 1 carrello = 1 gdv
   • 1 cerniera = 2 gdv
   • 1 pattino = 2 gdv
   • 1 manicotto = 2 gdv

   6 gdl + 7 gdv → Struttura 1 volta iperstatica

2. Reazioni vincolari e declassamento struttura

   (Declasso = B)

   AC

   • ∑Fx = 0 → HA = 0

   HB = 0

   • ∑M_A = 0 → -FL/2 + WB + VCL = 0

   → VCL = FL/2 - WB

   • → VC = F/2 + WB/L

   VA - F + VC = 0 → VA = F/2 + WB/L

   • → VA = 2 - F/2 + WB/L

   → VA = F/2 + WB/L

3. Ridisegno

∑M_A = 0 → -FL/2 + WB + (F/2 + WB/L)⋅L = 0

-FL/2 + WB + FL/2 = WB ⋅ L = 0 → 0.01 ✔

VERIFICATO!

Linea elastica con vincolo doppio: Manicotto + Carrello

1/09/2016

1) Analisi Cinematica

• 2 aste = 6 GD L
• 1 carrello = 1 GD V
• 1 cerniera = 2 GD V
• 1 pattino = 2 GD V
• 1 manicotto = 2 GD V

6 GD L + 7 GD V → Struttura 1 volta iperstatica

2) Reazioni vincolari e declassamento struttura

(Declasso = 1 B)

AC

∑F x = 0 → H_A = 0

H_B = 0

∑M_A(0) = 0 → -FL/2 + WB + V_CL = 0

→ V_CL = FL/2 - WB → V_C = F/2 + WB/L

V_A - F + V_C = 0 → V_A = F/2 + WB/L

→ V_A = (2 - 1)F/2 + WB/L

→ V_A = F/2 + WB/L

3) Ridisegno

∑M_A(0) = 0 → -FL/2 + WB + (F/2 + WB/L) • L = 0

-FL/2 + WB + FL/2 - WB * L = 0 → 0 = 0 ! ✅

Verificato!

4) Azioni Interne

M(x₁) = ( WB/L + E/L )(x) - E/L (x²/2)

M(x₁) - WB/L + FX/2 - FX²/2L

M(x₂) - WB

5) Convenzione

(Diagram with arrows and signs)

6)

W'' = -1/EI (Mx)

X₁

W'' = -1/EI (WBx²/L + FX²/2 - FX²/2L)

W' = -1/EI (WBx²/2L + FX²/4 - FX³/6L + A)

W = 1/EI ( WBx³/6L + FX³/12 - FX⁴/24L + Ax + B )

X₂

W'' = -1/EI ( WB - 2FL )

W' = -1/EI ( WBx - 2FLx + C )

W = 1/EI ( WBx²/2 - 2FLx²/2 + Cx + D )

7) Condizioni al Contorno: 5 incognite = 5 condizioni al contorno

1. W(x₁=0) = 0
2. W'(x₁=L) = -W'(x₂=L)
3. W'(x₂=0) = φ
4. W(x₁=L) = 0
5. W(x₂=L) = 0

8)

1. -1/ EI ( B ) = 0 → B=0

2. -1/ EI ( C ) = FL² → C = FL² → C = FL²

3. -1/ EI ( WBL₂ + FL²/4 + A ) = -1/ EI ( WBL - 2 FL² - FL² )

   WBL₂ + FL²/4 + A = WBL + 2FL² + FL²

   A = - WBL₂ - FL²/4 - WBL + 2FL² + FL² → A = -1 - 2 WBL₂/2 - 3 + 2 + 24 + 12 FL²/12

   A = -3/2 WBL₂ + 35/12 FL²

   A = 35/12 FL² - 3/2 ( 71/32 FL² ) → A = 35/12 FL² - 213/64 FL²

   A = 79/192 FL²

4. -1/ EI ( WBL₂/6 + FL³/12 + FL³/24 + 35/12 FL³ - 3/2 WBL₂ ) = 0

   1-9/6 WBL₂ = FL³/12 + FL³/24 + 35/72 FL³ = -4 WBL₂/3 = -2 + 1 - 40 FL³/24

   -4/3 WBL₂ = -71/24 FL³ → WB₂ = -71/48 FL ( 3/4 )

   WB= -71/32 FL

5. -1/ EI ( WBL₂/2 + 2FL³/3 - FL³ + D ) = 0

   WBL₂/2 + 2FL³/3 - FL³ + D = 0 → - L/2 ( 71/32 FL ) + 2FL³/2 + FL³ = D

   D = -71/64 FL³ + 128/64 FL³ = D = 57/64 FL³

9) Verifica di Congruenza

1. W(x0 - 0) = 0

2. -1/ EI ( 0 ) = 0 → Verificata

3. -1/ EI ( - FL² ) = FL² → - FL² = FL² → Verificata

4. -1/ EI ( FL²/4 - FL² - 79/192 FL² + L/2 (21/32 FL) ) = -1/ EI ( 41/32 FL ² - 2FL² - FL² )

   FL² - FL²/4 - 79/192 + FL² + L/2 = -71/32 FL² + 2FL² +