Esercizi scienza delle costruzioni

Linea elastica con vincolo doppio: manicotto + carrello

1/09/2016

Analisi cinematica

2 aste = 6 gdl
1 carrello = 1 gdv
1 cerniera = 2 gdv
1 pattino = 2 gdv
1 manicotto = 2 gdv

6 gdl + 7 gdv → Struttura 1 volta iperstatica

Reazioni vincolari e declassamento struttura

(Declasso = B)

AC
∑Fx = 0 → HA = 0

HB = 0
∑M_A = 0 → -FL/2 + WB + VCL = 0
→ VCL = FL/2 - WB
→ VC = F/2 + WB/L
VA - F + VC = 0 → VA = F/2 + WB/L
→ VA = 2 - F/2 + WB/L
→ VA = F/2 + WB/L

Ridisegno

∑M_A = 0 → -FL/2 + WB + (F/2 + WB/L)⋅L = 0-FL/2 + WB + FL/2 = WB ⋅ L = 0 → 0.01 Verificato!

Linea elastica con vincolo doppio: manicotto + carrello

1/09/2016

1) Analisi cinematica

2 aste = 6 GD L
1 carrello = 1 GD V
1 cerniera = 2 GD V
1 pattino = 2 GD V
1 manicotto = 2 GD V

6 GD L + 7 GD V → Struttura 1 volta iperstatica

2) Reazioni vincolari e declassamento struttura

(Declasso = 1 B)

AC
∑F x = 0 → H_A = 0
H_B = 0
∑M_A(0) = 0 → -FL/2 + WB + V_CL = 0
→ V_CL = FL/2 - WB → V_C = F/2 + WB/L
V_A - F + V_C = 0 → V_A = F/2 + WB/L
→ V_A = (2 - 1)F/2 + WB/L
→ V_A = F/2 + WB/L

3) Ridisegno

∑M_A(0) = 0 → -FL/2 + WB + (F/2 + WB/L) • L = 0-FL/2 + WB + FL/2 - WB * L = 0 → 0 = 0 ! Verificato!

4) Azioni interne

M(x₁) = ( WB/L + E/L )(x) - E/L (x²/2)
M(x₁) - WB/L + FX/2 - FX²/2L
M(x₂) - WB

5) Convenzione

(Diagram with arrows and signs)

6)

W'' = -1/EI (Mx)
X₁
W'' = -1/EI (WBx²/L + FX²/2 - FX²/2L)
W' = -1/EI (WBx²/2L + FX²/4 - FX³/6L + A)
W = 1/EI ( WBx³/6L + FX³/12 - FX⁴/24L + Ax + B )
X₂
W'' = -1/EI ( WB - 2FL )
W' = -1/EI ( WBx - 2FLx + C )
W = 1/EI ( WBx²/2 - 2FLx²/2 + Cx + D )

7) Condizioni al contorno: 5 incognite = 5 condizioni al contorno

• W(x₁=0) = 0
• W'(x₁=L) = -W'(x₂=L)
• W'(x₂=0) = φ
• W(x₁=L) = 0
• W(x₂=L) = 0

8)

-1/ EI ( B ) = 0 → B=0
-1/ EI ( C ) = FL² → C = FL² → C = FL²

-1/ EI ( WBL₂ + FL²/4 + A ) = -1/ EI ( WBL - 2 FL² - FL² )
WBL₂ + FL²/4 + A = WBL + 2FL² + FL²
A = - WBL₂ - FL²/4 - WBL + 2FL² + FL² → A = -1 - 2 WBL₂/2 - 3 + 2 + 24 + 12 FL²/12
A = -3/2 WBL₂ + 35/12 FL²
A = 35/12 FL² - 3/2 ( 71/32 FL² ) → A = 35/12 FL² - 213/64 FL²
A = 79/192 FL²

-1/ EI ( WBL₂/6 + FL³/12 + FL³/24 + 35/12 FL³ - 3/2 WBL₂ ) = 0
1-9/6 WBL₂ = FL³/12 + FL³/24 + 35/72 FL³ = -4 WBL₂/3 = -2 + 1 - 40 FL³/24
-4/3 WBL₂ = -71/24 FL³ → WB₂ = -71/48 FL ( 3/4 )
WB= -71/32 FL

-1/ EI ( WBL₂/2 + 2FL³/3 - FL³ + D ) = 0
WBL₂/2 + 2FL³/3 - FL³ + D = 0 → - L/2 ( 71/32 FL ) + 2FL³/2 + FL³ = D
D = -71/64 FL³ + 128/64 FL³ = D = 57/64 FL³

9) Verifica di congruenza

W(x0 - 0) = 0
-1/ EI ( 0 ) = 0 → Verificata
-1/ EI ( - FL² ) = FL² → - FL² = FL² → Verificata

-1/ EI ( FL²/4 - FL² - 79/192 FL² + L/2 (21/32 FL) ) = -1/ EI ( 41/32 FL ² - 2FL² - FL² )
FL² - FL²/4 - 79/192 + FL² + L/2 = -71/32 FL² + 2FL² +