Linea elastica: esercizi svolti per l'esame di scienza delle costruzioni

Esercizi di

SCIENZA DELLE COSTRUZIONI- LINEA ELASTICA -

Autore: Marina Roma

L'Autore declina ogni responsabilità per le eventuali inesattezze ed errori riportati nel presente elaborato, nonché per gli eventuali danni che dall'utilizzo dello stesso possono derivare.

ESERCIZI - Gioco elastico - Problemi flessionali

ESERCIZIO 1

È un problema flessionale per i dati sono: coppie forze tangenti carico distribuito trasversale. Quindi l'equazione a un generico riferimento è:

E·I·x·v^''(z_i) = q(z)

Assumendo le ipotesi che E·I·x=cost e q(z) = cost = q, l'equazione si riduce a:

E·I·x·v^N(z_i) = q → v^N(z_i) = q / EI

Integrandola più volte ottengo:

v^N(z_i) = q_i · z_i + A_{i EI}

v^L(z_i) = q_i · z_i² + A_iz_i + B_{i 2EI}

v^J(z_i) = q_i · z_i³ + A_iz_i² + B_iz_i + C_{i 6EI 2}

v⁴(z_i) = q_i · z_i⁴ + A_iz_i³ + B_iz_i² + C_zi + D_{i 24EI62}

_{i=1,2, ... ,nDove i tratti in cui ho diviso la struttura}

punto C

Ai giunti vive forza tagliante concentrata. E in stato continuare perchè non sono presenti vincoli interni, quindi la rotazione e lo spostamento saranno uguali nel punto infinitesimente a sinistra di C (cioè dicasi C_s) e in quello infinitesimente a destra (cioè dicasi C_d).

• V₃(C_s) = V₂(C_d)
• φ(C_s) = φ(C_d)

Con riferimento ad un concio elementare posto a cavallo di C, scrivo le espressioni statiche.

• M^S + M^d = 0
• T^S + F - T^d = 0

Scritte in termini di V_i(z_i) e φ_i(z_i) diventano

• -EI V₃''(e) = -EI V₄''(0)
• -EI V₃^M''(e) = F - EI L^M V₄^M(0)

punto D

La condizione cinematica imposta dal carrello è che il punto D non subisce spostamenti. Lo scrivo con r riferimento ai punti D^S e D^d infinitesimente a sinistra e destra di D. Queste per le rotazioni si dice e si considera:

• S_uy^S = 0
• S_uy^D = 0

• φ_d(e) = φ₅(0)
• M_G(e) = M_S(0)
• -V₆(e) = -V₅(0)

punto H

• v(1^d) = 0 → v₅(2R) = 0
• v(4^d) = 0 → v₆(0) = 0
• φ₅(2R) = φ₆(0) → v₅(2R) = -v₆(0)
• M^d = M₅(2R) = M₆(0)
• -EI v₅^''(2R) = -EI v₆^''(0)

punto K

• T_n = 0 → T₇(E) = 0 → -EI v₇^''(E) = 0
• M_K = 0 → M₇(E) = 0
• -EI v₇^''(E) = 0

Esercizio 1

Sono discretizzate le equazioni al contorno.

Ricordo solamente che:

• M(z) = -EI v'' (z)
• T(z) = -EI v''' (z)
• Q(z) = -v''' (z)

1. • v(A) = 0
   • v_1(0) = 0
   • M(A) = m
   • -EI v_1''(0) = m

La cappa non è caricata esattamente sul cavalletto in A, ma questo non è in grado di splicare come risolvere una cappa, bensì solo una non verticale. Infatti la cappa m è caricata su un punto posto infinitamente a destra di A e non su A stesso.

2. • v(B^s) = 0
   • v_1(P) = 0
   • v(B^d) = 0
   • v_2(0) = 0
   • φ(B^s) = φ(B^d)
   • -J_sup^dL(P) - v_2'(0)
   • M^s - M^d_B
   • -EI v_1''(P) - EI v_2''(0)

3. • v(E^s) = 0
   • v_2(P) = 0
   • v(C^d) = 0
   • v_3(0) = 0
   • M(E) = 0
   • -EI v_2''(P) = 0
   • M(C^d) = 0
   • -EI v_3''(0) = v_3''(0)