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eseLaplace1
mercoledì 11 marzo 2020 08:55
Usando le proprietà della trasformata di Laplace e le trasformate elementari riportate nella tabella 2.3 fornita, calcolare f(s) = ℒ{f(t)} per le seguenti funzioni del tempo:
- D1) f(t) = 2(t-1)2(t+1)3
- D2) f(t) = e3t (t3 + ttet)
- D3) f(t) = M sen (2t + π√6)
- D4) f(t) = 4 cos (ωt - 45°)
- D5) f(t) = M sen (3t + 4)
- D6) f(t) = tt et (e2t + 7)
- D7) f(t) = t2 eat cos(ν1t)
- D8) f(t) = et (cos(t) + sen(2t))
- D9) f(t) = (t+1) sen(ωt)
- D10) f(t) = tek (A2 + tte-t + e-2t)
eseLaplace2
mercoledì 11 marzo 2020 09:07
CALCOLARE LE ANTITRASFORMATE DI LAPLACE f(t) = L-1 {F(s)} DELLE SEGUENTI FUNZIONI:
- A1) (s+1) / (s+2)
- A2) 1 / ((s+2)(s+3))
- A3) (s+2) / (s+3)
- A4) (s+1) / ((s+2)(s+3))
- A5) 1 / (s2(s+1))
- A6) (s+1) / ((s+1)(s+4))
- A7) (s+1) / ((s+2)(s+4))
- A8) (s2+4s+13) / s2+1
- A9) 1 / (s(s2+4s+13))
- A10) 1 / ((s+2)2(s+3))
- A11) 1 / ((s+2)2(s+3)2)
- A12) 1 / ( (s+2)2(s+3)(s+4) )
- A13) 1 / ( (s2+4)(s+3) )
- A14) 1 / ( (s2+1)(s+1)2 )
- A15) s / (s2(s2+s+1)(s+1))
- A16) (s+1) / (s2(s2+s+1))
- A17) 1 / (s2(s2+s+1))
- A18) 1 / ((s+2)45)
- A19) s / ((s2-1)5/2(s+1))
- A20) s4 / ((s+4)3(s-1))
AG
0f(s) = s + 1/s2 + 2
0f(s) = s + 1/s2 + 2
f(s) = s2 + 4s + 5 + 4 - s2/s2 + 2 = 5s + 2/s2 + 2
A + A* = 5
A = 5s + 2/s - j√2 = - 5j√2 + 2 - j/2j√2
A* = 5 - 1/2 j
(A + A* = 5 + 1/√2 j + 5 - 1/√2 j = 5 ok
f(s) = 5/2 + 1/√2 j
L-1{f(s)} = δ0(t) + 5/2 + 1/√2 j e-j√2t + 5/2 - 1/√2 j ej√2t =
= δ0(t) + 2[Re{ 5/2 - √2} ej√2t
= δ0(t) + 2[Re{ 5/2 √2 j} (cos√2t + jsin√2t)
= δ0(t) + 2[ 5/2 cos √2t + 1/√2 sin √2t ]
= δ0(t) + 5cos (√2t) + √2 sin(√2t)
A12
A + C + D = 1/4 | s = -3
D = 1/4 | s = -4
A = 1/4 - 3/4
B = 1/2 | s = -2
f(s) = 3/4 1/s+2 + 1/2 1/(s+2)2 + 1/s+3 - 1/4 1/s+4
L-1{f(s)} = -3/4 e-2t + 1/2 t e-2t + e-3t -1/4 e-4t
3 + √3 j + 3 j√3 - 3 √3 j
9 + 3
c = 4 √3 j;
A = √3/3 j
P(s) = 1/s2 + √3/3 1/s - (-1/2 j√ 3) - √ 3/3 1/s-(-1/2 j√3)
t + √3/3 je-t e-j (√ 3)/2 t =
+
t + √3/3 je-t (ej (√3)/2 t + e-j (√3)/2 t)=
- t + √3/3 e-1/2 t (2 sin (√ 3/2) t)
Calcolo della Risposta
A = [ 0 1 ], B = [ 3 0 ], C = [ 1 1 ], D = [ 1 0 ]
x(t)= [ e-t ], x0,1= [ 4 0 ]
xc(t) = xc(t) + xg(t)?y(t)=yc(t) + yg(t)?
- xc(s)= Φ(s)x0 - (sI-A)-1x0
(sI-A)-1 = [ s-1 1 ]-1=[ s-3 s ]=[ s+4 1]
- xc(s)= [ s+4 1 ][ 4 ]=[ 4(s+4) -12 ]
- xg(s)= H(s) ⋅ μ(s) = (sI-A)-1B μ(s)
μ(s) = [ 4 0 ]
= \(\frac{4s^2 + 12s + 20}{(s + 3)(s + 1)^2}\)
\( \rho(s) = \frac{A}{s + 3} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{(s + 1)^2} \)
4 = A(s + 1)^2 + Bs(s + 1) + C
A = \(\frac{4s^2 + 12s + 20}{(s + 1)^2}\)\(s = -3\)
\( = \frac{26 + 26 + 20}{-2^2} = 5\)
B = 4 - 5 - 1 = -1
C = \(\frac{4s^2 + 12s + 20}{(s + 3)}\)\(s = -1\)
\( = \frac{4 - 12 + 20}{2} = 6\)
\(\rho(s) = \frac{5}{s + 3} - \frac{1}{s + 1} + \frac{6}{(s + 1)^2}\)
\(g(t) = y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{\rho(s)\} = 5e^{-3t} - e^{-t} + 6te^{-t}\)
x(t) = u(t) - u(t-π) = 2e-3t + (-1 - 3/2 j)e-2jt + (-1 + 3/2 j)e2jt =
= 2e-3t + 2Re[(4 - 3/2)(cos(2t) + j sin(2t))] =
= 2e-3t + 2cos(2t) + 3sin(2t)
4)
A = [0 1 0]
(ΛI - A) = [Λ -1 0]
[2 Λ+2 0]
[-1 0 Λ+1]
det = Λ(Λ+2) + 2 = Λ2 + 2Λ + 2
Λ2,3 = -1 ± j
Re(Λ) SISTEMA ASINTOTICAMENTE STABILE
5)
A = [0 0 0]
(ΛI - A) = [Λ 0 0]
[3 2 5]
[-1 -1 -2]
[-3 Λ 2 -5]
[0 1 0]
Λ1 = 0 Re = 0
detx2 = (Λ-2)(Λ+2)+5=Λ2-4+5=Λ2+1
Λ2 = j Re=0
Λ3 = -j Re=0
Tutti gli autovalori hanno Re=0 ma
hanno molteplicità 1
= > SISTEMA STABILE
STABILITA' TEMPO DISCRETO
1)
A = [ -3 2] [1 -4](λI-A) = [λ+3 -2] [-1 λ+4]
- λ2 + λ - 2 = 0
- λ1 = 1
- λ2 = -2
|λ|1 e |λ|2 non hanno molteplicità 1
⇒ SISTEMA STABILE.
2)
A = [ -1 1] [ -1 4](λI-A)= [λ+1 -1] [1 λ+1]λ2 + 1 λ = 0 ⇒ λ1 = 0
μ1 = 2
|λ| < 1 ⇒ SISTEMA ASINTOTICAMENTE STABILE
3)
A = [ -2 1] [ -1 0](λI-A) = [λ+2 -1] [1 λ]
λ2 + 2 λ + 1 = 0
- -1 ± √
- 1-1 = -1
- μ1 = 2
rg (A - (λ-I) I) = rg (A+I) = rg [-1 1] [-1 1] = 1 ≠ m - m1 ≠ 0
⇒ SISTEMA INSTABILE
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